* p! R& u. m$ B/ s- Y5 q" W6 U" w! |凸面和均質是GOMBOC (字母O上面有來年各個小點哦)的主要特性。
0 l7 Z2 W1 M% ?. R l) T; \不倒翁是非均質物體擁有GOMBOC一樣行為的簡單例子。6 o3 B7 d: E' u3 H
同樣，因為凹面體不能通過表面圓周滾動，也很容易創造出GOMBOC均質凹面體
4 }+ d9 [2 O' O9 s6 e: `) ^$ Q
8 b& m% Z. P/ m![]()
9 I* a- `& R0 j/ E凹面GOMBOC 平面圖.
2 `/ V: y" [; n) Q* v/ |
只擁有唯一一個穩定平衡點的形狀稱作單靜態體，同時擁有另外一個非穩定平衡點的稱為單一單靜態體。9 C0 U8 f3 ~- w: W7 O( T
GOMBOC是第一個凸面均質單一單靜態體。
% q) f6 _4 B, `; g3 F" t: ~5 f8 X/ t+ v5 m
3 E7 M+ J) _! |' r0 n3 D平面GOMBOC
5 I+ Z: o6 j6 o* s, |, Z i0 ]/ m0 b/ a( o
由于物體重心(G)作用，平面凸形在極坐標系中規定為函數R(a)。 6 E; e9 i$ b6 t; F# x9 E
, O7 O6 q9 j `在水平面上，所有物體都朝著重心降低的方向滾動。 R隨著地面降低而變小。
) _( q8 W: z" a1 x% a' A/ u& y X
當dR/da = 0時出現平衡點。R (d2R/da2 > 0)為最小值時，是穩定平衡點，當R（(d2R/da2 < 0)為最大值時，是非穩定平衡點。R最小值后出現轉而最大值，反之亦然。因此，出現穩定平衡點和非穩定平衡點次數相當。另外，下面原理也可以被證明： 4 m$ P2 x/ i* g+ q/ `) u
/ l0 Y) y) L/ i" d0 H
* ]( K2 l S( q2 S! t
原理 1:+ U/ _3 `' ]0 \) o5 z, ?7 M
所有平面凸均質體至少有2個穩定和2個非穩定平衡點。
/ r1 O% s8 s6 s' g* r' T
$ i: ]0 j, Q$ ]0 h7 P- F如果物體只有一個平衡點，相應函數R(a)圖就只能有一個最大值和最小值。 # w5 s6 @) L: z8 H* i! M7 u, v2 r$ @5 {
用直線 R = R0 將物體分成兩部分，函數 R > R0 和 R < R0 具有相等（(長度 p)水平投影。
. m8 V3 [$ f3 N! }8 @2 S0 c( o) J% t1 W; C8 H; z ^/ H
相當于穿過重心G的直線相應把物體切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)兩部分，, W$ U) U: Z3 S/ {" L* ]8 y Q
支撐面沿著直線。
! m* t9 y) Y) F7 `但是達到平衡的條件是G點不在直線上，應該在厚點的這半部分，這與之前所述G點在直線上相矛盾，由此得出原理1正確。
6 \* \: g/ Z* L% j6 G" i* ~, u1 l5 w- `) X) w5 N1 W
7 E* U2 o4 H, Q; Y$ H6 b: k3 f- Y& g* g) c. M# N0 N# S
編號為 R(a)的函數圖（右）以及相對應的物體（左）
' O8 @* U- x( C- t+ L8 u# H4 h正如我們所證明的，不存在平面的GOMBOC型物體。這個令人驚訝的簡單事實是典型數學原理的物理模擬： 2 O' V$ M" { m' z: ~
四頂點定理:: 一條簡單封閉曲線曲率至少有四個局部極值
0 o! z, u k1 Q5 K6 ]- a0 p. L- L
, n( R( m3 q7 u
有關四頂點定理有眾多的概括和相關幾何定理，有時這些統稱為四頂點定理。
) U$ o* h# S3 |* g) M如果不存在三維GOMBOC，這個事實將成為四頂點定理家族中的又一新成員。: \& u$ G7 `3 b6 n0 \' a
" F ^) Z8 @( r/ r
有關GOMBOC的基本概念
) R! Y& [% W: e: m7 l* O
# y0 W! ~6 y( i. d8 J; I( {, l- W: F7 T/ I) @' t L
1 T9 o2 Y% b6 }% C8 W
類似于平面物體，三維體可以定義為重心作用下球坐標系中的函數R(j,q)4 M7 y# M0 O; x/ o8 J
. T7 v' S# }1 c7 e# e% r
" I7 u* i, t* O9 V
) ^# M0 C1 U7 ^7 _1 C" x
三維體在球面坐標系中的定義$ S) D3 y7 W$ h% u
4 `1 \$ T* C* \2 @
0 O0 t( Q, X p0 I2 j9 P$ m區域最小值和最大值R對應穩定平衡點和非穩定平衡點，物體在R的鞍部還有另外一個平衡點。9 g8 |. r- R. P# K& d0 X) G
根據龐加萊-霍普夫（Poincaré-Hopf）理論，球體內所有同型物體，在這三種情況下，平衡值（由s, u, t,分別代表）都滿足s + u - t = 2。定理1的三種假定情況： ; I0 }/ o0 [+ k) X6 N* v
% V! M4 l S' r# \# H! I/ U/ D* M6 p7 U( R/ x- ~
2 j; q! J, R1 a6 n2 V
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,
! G2 c* D9 l1 _7 R' z; q
$ {- x2 I6 r) x4 N
a) 和 b)很容易被駁倒2 h1 M; G' Z+ X# A! P A7 v
s = t = 1, u = 2時，s > 1為否，
" u+ q# N1 l$ S" O) i0 Q% d l5 W* p6 K, y. S3 u, w/ {9 F
' n& f% `+ U/ r8 G
+ b3 F* M$ i9 ]* ~8 ~
3 l8 M* m3 N9 j( q
# r* M: A( j; N+ Y5 ui > 1 時 u = t = 1, s = 2
' n, N9 e9 Q, B2 _! ?4 v }. L# {4 i/ J, Z1 L
! }7 M* @( z* n$ E( s, T
3 X% H/ D+ u/ ~/ R t* A0 [( g- K( M
2 w1 ^, s' k+ B; E' M
" l, B; ^/ h6 x$ q# e1 z# ?5 D
第三種情況可能性存在于Gömböc本身：是否存在三維凸面均質s = u =1（t=0）的物體？+ i& t; d; F2 q/ O
我們可以進一步延伸平面理論來證明這種物體存在的不可能性。
! A9 x2 q# m9 G! q) `- |: ~8 f6 \假設存在這種形狀物體，對應函數R(j,q)就只能有一個最小值和一個最大值。; k/ B$ x1 l7 ~& W# o+ M& e
平面物體用R = R0分割成薄厚相同尺寸的兩部分（以重心點G作為分割，兩部分的空間角度相同）。# S) c( Y; }* ?, o- H, p
如果切割的線條是平面曲線（如：圓），則得出類似二維體的矛盾。' _& r! v& e2 Q; w
如果是空間曲線，則是類似網球的曲線。( c2 O Y% D) W7 l$ O! Y) H, q
物體分割成上下厚薄兩部分，無法證明G點一定在上半部分。
- d. p! k6 N3 j9 d: K由此得出平面理論并不適用于三維體。
0 l% |2 E0 z& ~, C. f# c% d) q# M% Q w5 S* n% y
. U( ?0 ?6 {; m. F8 j7 P
5 e7 t0 s6 z7 H8 M! y
# s1 H5 Y: Q1 k6 n M1 b
分割單一單靜態體厚（黃色）薄（綠色）兩部分的直線是有可能，但并不一定在一個平面上。
+ p: r' ~: i' Q5 |4 W8 Y4 X6 j" @$ T& i# P) [) S" _
論證的失敗為GOMBOC的空間形狀提供了新的想法。0 N' c/ d4 y& W7 A& W! p( k
運用雙參數閉合公式，可以分析出適當參數值得出s = u = 1物體。0 l0 i. X; Q$ M- }
受凸面體限制，構造出的物體近似于球體。
# n, t8 D+ B5 J3 t構造出的形狀可以從理論推斷出存在GOMBOC可能性，但是否具有單一單靜態體（從視覺上可以明顯看出）特性仍然是個疑問。1 U8 }7 j$ c$ s; D
$ y2 X- ]- P" N% B* C
- X' a# M' k. E+ H! Q, L% g7 I# F. M* o4 x
0 N' ~7 j7 ]8 j" {# M6 _1 D4 y
; j" q+ e9 S7 m- f( X應用于論證的雙參數物體圖形
8 N- F5 Z) c( B
- s8 \' s. L' l& l' W; n2 w“真正的"GOMBOC
7 d' X( ^' @% X; Q4 e
/ ?7 J y/ n0 E. p8 ?$ A" m通過理論論證為什么不能找到一個具有特殊形狀的物體？
# N. `9 L4 n2 Q* ^& s9 Q是因為論證公式不好還是因為失敗背后隱藏著更深層的原因？( k& o/ W @0 W- L
GOMBOC具有類似球體的形狀，但在羅得島上2000多個卵石中也沒能找到這種形狀，這種形狀如果離球體“很遠"就不可能是s = i = 1。盡管尋找這種物體很困難，但是通過另一種途徑卻可以構造出GOMBOC的形狀。以下的圖示是基于網球的理念。它表面由簡單圖形組成（圓柱，橢圓形，錐形）和平面。顯而易見，這種形狀屬于凸面體。通過數值積分算出其重心應稍低于原先的位置，通過這些事實，我們可以簡單判斷出這個形狀屬于單一單靜態體。當然，無數的形狀都可以有這些特性，而以下圖形只是其中的一種。構造出來的GOMBOC樣品略有不同：它由很多圖塊組成，這使得穩定平衡特性更健全，滾動物體的力學表現更加直觀。6 M0 J# |% i$ J5 ]" z; ?6 j+ x
4 w# P& J7 C k1 t8 Y! i6 ]0 H9 |+ ^8 ^" @/ C9 p5 A
; @* u% B5 i' t0 Z+ Z簡單的圖塊拼接到一起構成GOMBOC
# _3 @8 e( `! B+ V( ?0 }5 q: n) W6 f5 k7 \/ W% @
. Q$ D6 _* T: e, r, S* g$ D8 q5 p1 C6 d. \
1 Z: M( C0 f% q' j. T% s& O- H M, S在R=穩定的情況下，GOMBOC的輪廓線能明顯具有網球形狀
* h6 N- l A$ A |
發表于 2010-11-15 08:49:53
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