求教-笛卡爾坐標(biāo)

lanyijianke

仿射坐標(biāo)系和笛卡爾坐標(biāo)系平面向空間的推廣
* m4 o8 r$ {6 C5 t5 a$ T1 m. r相交于原點(diǎn)的三條不共面的數(shù)軸構(gòu)成空間的仿射坐標(biāo)系。三條數(shù)軸上度量單位相等的仿射坐標(biāo)系被稱為空間笛卡爾坐標(biāo)系。三條數(shù)軸互相垂直的笛卡爾坐標(biāo)系被稱為空間笛卡爾直角坐標(biāo)系，否則被稱為空間笛卡爾斜角坐標(biāo)系。
笛卡爾坐標(biāo)，它表示了點(diǎn)在空間中的位置，但卻和直角坐標(biāo)有區(qū)別，兩種坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)換。舉個(gè)例子：某個(gè)點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)是493 ,454, 967，那它的X軸坐標(biāo)就是4+9+3=16，Y軸坐標(biāo)是4+5+4=13，Z軸坐標(biāo)是9+6+7=22，因此這個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)是(16, 13, 22)，坐標(biāo)值不可能為負(fù)數(shù)（因?yàn)槿齻�(gè)自然數(shù)相加無法成為負(fù)數(shù)）。
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紅字部分沒搞懂，大家能解釋下嗎，根據(jù)自己的理解，不要拷貝哦

愛貓人士薛定諤

沒看懂紅字想表達(dá)什么。。根本就沒有指出第一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，上來就規(guī)定了這種奇怪的算法。

pacelife

根本就是亂寫，笛卡爾坐標(biāo)就是直角坐標(biāo)

crazypeanut

定義：線性變換加上一個(gè)平移稱為仿射變換，笛卡爾坐標(biāo)系經(jīng)過仿射變換后的坐標(biāo)系稱為仿射坐標(biāo)系
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其實(shí)仿射坐標(biāo)系就是斜角坐標(biāo)系拉

crazypeanut

, e) b4 X* q% [通俗的講，所謂笛卡爾坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸是直線的都稱為笛卡爾坐標(biāo)系，否則就稱為曲線坐標(biāo)系（注意這里的直線定義為歐式空間的直線）
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因?yàn)橐话隳�認(rèn)笛卡爾坐標(biāo)系是標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)系，而斜角坐標(biāo)系都是由標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)系經(jīng)過仿射變換而來，于是就有了仿射坐標(biāo)系的說法

動(dòng)靜之機(jī)

據(jù)查，這個(gè)紅色文字的“龜腚”來自這部電影：
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[轉(zhuǎn)]Cube中的數(shù)學(xué)原理
Kim 發(fā)布于： 2008-01-17 22:06

; D' g( }8 N7 U6 O: \6 NCube中的數(shù)學(xué)原理
I. Cube的外形及房間的個(gè)數(shù)
Cube由一個(gè)巨大的立方體以及包在立方體外的一層外殼組成，兩者之間存在一定空間，大立方體內(nèi)還包含許多小立方體房間，類似于魔方。Cube只有一個(gè)出口，只有到達(dá)了連接外殼與內(nèi)部立方體的那個(gè)房間才能走出Cube，這個(gè)房間在影片中被稱為“橋”。每一個(gè)房間棱長14尺（略長于4米）。大立方體每條邊有26個(gè)房間的長度，所以一共是26*26*26=17576個(gè)房間的大小。（但事實(shí)上沒有那么多房間，因?yàn)榉块g要移動(dòng)必須留有一定的空間）
II. 如何識別房間內(nèi)是否有陷阱
2 X/ l0 t$ H0 G! h& s·識別房間是否安全
  A9 p5 j. p) _6 x4 h  WCube中的每一個(gè)房間都標(biāo)有三個(gè)三位數(shù)的數(shù)字。因?yàn)槊總�(gè)房間的數(shù)字都不同，Holloway一開始認(rèn)為這表示房間的序號（她從而認(rèn)為一共有幾億個(gè)房間，但她錯(cuò)了）。Leaven隨后認(rèn)為他們可以憑借這三個(gè)三位數(shù)的數(shù)字來識別房間是否有陷阱，Leaven的記憶力很好，她記下了他們經(jīng)過的每一個(gè)房間的數(shù)字，歸納以后她得出結(jié)論：凡是三個(gè)數(shù)字中含有質(zhì)數(shù)的房間存在陷阱（這個(gè)理論一開始很好用，但之后在一個(gè)不含質(zhì)數(shù)的房間內(nèi)同樣存在陷阱，至此這一理論被推翻）。最終在影片尾聲時(shí)真相才被挖掘出來：識別陷阱的不是質(zhì)數(shù)，而是質(zhì)數(shù)的乘方。Leaven讓Kazan報(bào)的是每個(gè)數(shù)字的質(zhì)數(shù)因子數(shù)。
* L# H, ?, B! j& Y9 Y/ O·質(zhì)數(shù)的乘方
每個(gè)自然數(shù)（1, 2, 3, 4...）如果本身不是質(zhì)數(shù)都可以由質(zhì)數(shù)相乘所得，比如120=2*2*2*3*5。如果不計(jì)質(zhì)數(shù)的前后順序，這種表示法是唯一的。現(xiàn)在用乘方的形式來表示，2*2*2在這里被表示成2^3，于是120= (2^3) *3*5。若一個(gè)數(shù)只含有一個(gè)質(zhì)數(shù)因子，那它就是質(zhì)數(shù)的乘方，顯然每一個(gè)質(zhì)數(shù)本身也是質(zhì)數(shù)的乘方（這也解釋了為什么Leaven的理論并沒有一開始就出錯(cuò)）。但是一個(gè)質(zhì)數(shù)的乘方不一定是質(zhì)數(shù)，比如說27=3*3*3=3^3，而27卻不是質(zhì)數(shù)，因?yàn)樗�能被表示�?乘以9，也就在這種情況下，Leaven的理論失效了。
III. 房間的空間位置及移動(dòng)方式
無論房間是否存在陷阱，三個(gè)三位數(shù)的數(shù)字并不表示其本身，經(jīng)過下面的介紹后你會(huì)發(fā)覺它們表示了房間的空間位置和移動(dòng)軌跡。
* I+ Z' R; M& K0 c) R) F! u·房間的坐標(biāo)
每個(gè)房間的數(shù)字其實(shí)是笛卡爾坐標(biāo)，它表示了房間在空間中的位置，但卻和直角坐標(biāo)有區(qū)別，兩種坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)換。舉個(gè)例子：某個(gè)房間的笛卡爾坐標(biāo)是493 ,454, 967，那它的X軸坐標(biāo)就是4+9+3=16，Y軸坐標(biāo)是4+5+4=13，Z軸坐標(biāo)是9+6+7=22，因此這個(gè)房間的直角坐標(biāo)是(16, 13, 22)，在此坐標(biāo)單位為一個(gè)房間，所以在Z軸方向，此房間離外殼有四個(gè)房間的距離。坐標(biāo)值不可能為負(fù)數(shù)（因?yàn)槿齻�(gè)自然數(shù)相加無法成為負(fù)數(shù)），XYZ每個(gè)方向的坐標(biāo)值不會(huì)大于26（除了“橋”）。Leaven他們曾經(jīng)達(dá)到過一個(gè)Y軸坐標(biāo)為27的房間，這其實(shí)就是通往Cube外部的“橋”。但當(dāng)時(shí)他們卻沒有發(fā)現(xiàn)這一秘密，因?yàn)檫@個(gè)房間周圍仍舊是其他房間，直到后來Worth被Quentin扔到之前Rennes死去的那個(gè)房間后看到有個(gè)通道外部什么也沒有，他這才弄明白原來房間是會(huì)移動(dòng)的。他說：“不是我們在移動(dòng)，而是房間。……這就能解釋為什么我們一直感覺到震感，我們一直隨著房間在移動(dòng)。”Cube此時(shí)就像個(gè)巨大的不停轉(zhuǎn)動(dòng)的魔方，每個(gè)房間都在不時(shí)地移動(dòng)，每一個(gè)坐標(biāo)只表示這個(gè)房間開始時(shí)的位置。
  G8 r. m6 C& ^& x; {$ t# x·房間的移動(dòng)方式
0 P! j  M; ?6 e5 T8 v4 ~每一個(gè)房間的移動(dòng)軌跡也隱藏在了笛卡爾坐標(biāo)當(dāng)中，比如坐標(biāo)為477, 804, 539的房間，它的直角坐標(biāo)為(18, 12, 17)。要想知道這個(gè)房間的移動(dòng)軌跡，可以這么做，對于每一個(gè)三為數(shù)數(shù)字作如下處理：
1. 百位數(shù)減去十位數(shù)
# l2 f) E% c% r' f/ Y2. 十位數(shù)減去個(gè)位數(shù)
. f$ p/ K, n& ?. m5 v  l  W7 u. ?3. 個(gè)位數(shù)減去百位數(shù)
' R3 q  R1 D0 n) }- T3 `9 g: e$ Q對三個(gè)數(shù)字都進(jìn)行以上操作，也就是：
1. 477:4 - 7=-3 | 7-7=0 | 7-4=3
2. 804:8 - 0=8 | 0-4=-4 | 4-8=-4
3. 539:5 - 3=2 | 3-9=-6 |9-5=4
這樣就得到了三個(gè)向量(- 3, 8, 2)， (0, - 4, - 6)和(3, - 4, 4)。 這三個(gè)向量表示了這個(gè)房間的移動(dòng)軌跡，將轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)的表示房間初始位置的坐標(biāo)（可以看成向量）依次加上這三個(gè)向量，即：
(18, 12, 17) + (- 3, 8, 2) = (15 ,20, 19)
(15, 20, 19) + (0, - 4, - 6) = (15, 16, 13)
  S+ n4 D5 P7 c: {% N(15, 16, 13) + (3, - 4, 4) = (18, 12, 17)
3 L# W, ]1 n. Q& X可以看到經(jīng)過了三次變化以后又回到了原來的初始坐標(biāo)(18, 12, 17)。每個(gè)房間也就是根據(jù)這個(gè)規(guī)律以(18, 12, 17) --> (15, 20, 19) --> (15, 16, 13) --> (18, 12, 17) -->…的軌跡移動(dòng)的。
4 o+ _' J6 I( Q" q2 M3 h·一段時(shí)間內(nèi)房間的位置變化
/ b) V& n8 B( f& _6 Z根據(jù)坐標(biāo)變化所顯示的，每個(gè)房間其實(shí)都在周而復(fù)始地按照固定的軌跡移動(dòng)。要想知道所處空間的位置，還必須有參照物，也就是必須至少知道一個(gè)鄰近的房間的坐標(biāo)。例如：
# C% [5 [! }" ?2 G5 A# j坐標(biāo)為320, 176, 223的房間（記為房間1），直角坐標(biāo)為(5, 14, 7)，以 (5, 14, 7) --> (6, 8, 7) --> (8, 9, 6) --> (5, 14, 7) -->…的軌跡移動(dòng)
7 E+ Z9 K6 Q0 E0 T" c: G* j它右邊的房間214, 168, 104（記為房間2），直角坐標(biāo)為(7, 15, 5)，以(7, 15, 5) --> (8, 10, 6) --> (5, 8, 2) --> (7, 15, 5) -->…的軌跡移動(dòng)
它上面的房間254, 303, 017（記為房間3），直角坐標(biāo)為(11, 6 , 8)，以(11, 6, 8) --> (8, 9, 7) --> (9, 6, 1) --> (11, 6, 8) -->…的軌跡移動(dòng)
從這三個(gè)房間各自的三次移動(dòng)中可以看到它們并不總是相鄰的，換句話說，只有當(dāng)房間1到達(dá)(8, 9, 6)，房間2到達(dá)(8, 10, 6)時(shí)它倆才是左右相鄰的，也只有當(dāng)房間1到達(dá)(8, 9, 6)，房間3到達(dá)(8, 9, 7)時(shí)它倆才是上下相鄰的，其它時(shí)間內(nèi)3個(gè)房間都互相分離。不是所有的房間同時(shí)一起移動(dòng)的，但它們的移動(dòng)是相互獨(dú)立的。這樣Cube就存在一個(gè)初始狀態(tài)，這個(gè)時(shí)候所有的房間都停留在它們的初始坐標(biāo)上，之后房間會(huì)各自移動(dòng)，經(jīng)過若干時(shí)間后還會(huì)回到初始狀態(tài)，這個(gè)循環(huán)可能需要幾天時(shí)間，完全取決于Cube的大小，這也會(huì)影響對到達(dá)“橋”所需的時(shí)間。
' L. p! m( n/ |, Z8 }3 K; u6 W·“橋”和出口
$ r- E# e0 M9 v: o+ s  g, i) b“橋”其實(shí)是一個(gè)房間，這在上面已經(jīng)說過了，在其初始位置時(shí)它連接著外殼和內(nèi)部大立方體，出口就在“橋”內(nèi)。“橋”的Y軸坐標(biāo)為27，而其他房間的Y軸坐標(biāo)都不大于26。“橋”也像其他房間那樣按照固定的軌跡移動(dòng)，這就意味著只有等它到達(dá)其初始位置時(shí)它才是真正的“橋”，人才能通過它走出Cube，其它時(shí)間內(nèi)它都在大立方體內(nèi)部的其他位置，因此必須把握好時(shí)機(jī)，錯(cuò)過初始位置之后就要再等一輪循環(huán)。Leaven把Cube比作是保險(xiǎn)箱的鎖，只有所有房間到達(dá)它們的初始位置時(shí)，鎖才能打開，然而接下來只要房間一移動(dòng)，鎖就關(guān)上了。因此想要找到出口就必須先找到一個(gè)處于大立方體邊界面的房間（某個(gè)坐標(biāo)為26），然后沿著邊界選擇房間進(jìn)入，最終找到“橋”，再等它回到初始位置，才能走出Cube。
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