如果不是數學狂熱分子，建議你別搞測度論

zerowing

看完通篇也是一項龐大的工程。不過感覺整篇描述的“測度”是一個如何把連續和離散統一起來的方法。
里面的有些敘述很生動，但是不太嚴謹。比如4.22的由來那段。俺只能理解連續封閉子集的和，而如果這些子集不封閉，那也不該有4.22，即便是在直線上截取的。或者，換句話說，開子集不可測。而線段一定不是開子集。好吧，又成繞口令了。
; M+ H& m! g+ u; s+ h6 w搞數學的最后果然都是會瘋的

zerowing

說點疑惑。感覺這種測度論其實變相的避開了解釋如何從點到線的解釋。所以，我能理解哲學家對此的不滿。（笑）
比如我前面說的子集問題。
一條線段真的能分成若干可相加的子集嗎？比如，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎？那么這兩個子集是相交的，不是嗎？因為都存在5這個點。而如何寫成[1,5]和(5,10]，那就表示的不是兩條線段，因為后面這個子集缺少了一個端點。那么這種情況，貌似這種測度的定義就變得不那么完善了又。
  @: r* t/ L5 V; l8 G2 |: M4 S所以，從這方面講，我并不喜歡這種數學上的定義。我可以理解任意一個高維度空間都可以表現低維度空間的特征，比如三維中表現一維的線段長，表現二維的面積；但你絕對不可能在一維中表現出體積和面積。這不僅僅是尺度問題。我更傾向于低維度特征是用以表現高維度特征的參考位這種說法。詳細的說，低維度特征無論在哪都只表現其自身的特征，而高維度的特征只是借助低維度的特征作為一個參考位進而表現高維度的特征。
4 T6 O+ g; Z( d因此，你可以在三維中，以表現面積特征的面作為參考位表現出兩個面參考位之間的度量特征，這個特征就是體。這跟面有沒有體積特征沒有任何關系，他只是一個位，如果表達成數學，就是[a,b]。面特征的參考位相當于a,b位點，而體積特征描述的是a,b之間的所有集合加成，無論是開集合還是閉集合。它并不在乎你有多少個重復位，有多少個離散點，它只在乎a和b之間的相對位置。

zerowing

換句話說，比如從點到線段，線段游低維度的點組成，但不是說線段上該有多少個點，線段特征表達只是在描述任意兩個以點為參考位的相對特征。所以，這之間有多少點，多少重復都無所謂，無所謂點之間如何排列組合，無所謂連續離散。因為特征表述不同。
- Z9 u6 L( Q6 K* g, \# I8 b! G! m當然，這樣的說法有點類似所謂的尺度論。

獨自莫憑欄

zero有點上癮了

阿難和松山

我了個去��！

crazypeanut

zerowing 發表于 2014-7-8 14:21
說點疑惑。感覺這種測度論其實變相的避開了解釋如何從點到線的解釋。所以，我能理解哲學家對此的不滿。（笑 ...

“比如，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎？”
9 a% {% C. {$ |
1 L; x* Q3 ?- S- \可以，可測集的線性可加性質

“而如何寫成[1,5]和(5,10]”

一個閉集，一個開集，找本數學分析書來看，都有嚴格定義，順便說句(5，10]，[5,10]的勒貝格測度都是5，去掉單點是不影響一個連續統的測度的
3 [2 m) G' {  T7 \4 J" U7 v
關于高維測度，其實高維測度可視為一維勒貝格測度的笛卡爾積
' k" t* Y1 e9 S. b
“比如從點到線段，線段游低維度的點組成”

: f# B+ y( |/ v) D2 o這句話是錯的，點是可數集，線段是連續統，有本質的區別，不能將線段視為由點組成的�？梢赃@么說，單個點構成的集合，測度一定是0，而線段，你可以將他視為，測度不為0的可測集的最小單位

の小南灬

pacelife

很有收獲，希望樓主多發類似的文章

1032220424

太能研究了，看暈了

zerowing

crazypeanut 發表于 2014-7-8 15:05
, ^; X. ]0 y+ A9 N! c“比如，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎？”

' C, q( o: t0 s8 ?& m可以，可測集的線性可加性質

8 @& E) R7 T- p, F呵呵，大俠，我希望你仔細看下這個問題。這個問題不是探討是否可加，而是探討所謂的定義。
你轉的文章里有這樣的一個性質：
3 F8 a& S6 b- j6 S# ~: M1 `

若干個（但是至多可數無窮個）彼此不相交的子集，它們并在一起得到的子集的測度，剛好等于這些子集各自測度之和。

請注意這個彼此不相交子集的概念。如果要求的是彼此不相交，那[1,10]就肯定不能寫成[1,5]和[5,10]兩段，不是嗎？因為子集相交了。這個不用再去看什么書去論證，因為我們只是在說集合問題。
同樣的，當我們說[5,10]去掉一個端點5，于是變成了(5,10]。那么，無論他是否影響測度（其實俺不敢茍同不影響說，因為只從數學角度說沒問題，但是延伸到一個整體世界角度就很難講了，后面說），無論是否影響測度，都不代表說(5,10]可以表示一個線段。換句話說，（5，10] 和[5,10]的測度相同，但不應該是一樣的東西。如果這么說沒問題，那么問題就來了，按照這樣的測度定義，那么一條線段就不該是若干條線段的疊加，雖然在測度上相等，但是組成新線段的各個部分并非都是線段。沒錯，這樣說，數學上沒有問題，只是無論是哲學家還是工程師都要頭疼了。哈哈。
3 ]) A3 d8 T9 c4 G) h于是，再說說那個延伸到整體世界角度的問題。舉個例子，大俠買了一量蘭博停在門口。這是起始時間點，然后你開出去，轉一圈又停回到和原先完全相同的位置，這是終止時間點。這個過程相當于這量車在四維空間中的一個變化。那么問題就來了，如果我拿掉最后一個時間點，會發生什么。其結果就是終態不可確定。那么也就是說這量蘭博在最后那個時間點的變化可能是任意的，它既可能延續之前的狀態（比如行使了1000米）成為一個終態（1000米），也可能跳躍回初態（0米）。這就是幾乎所有幻想家所暢想的一個折疊現象。將路徑折疊，初點和終點重疊而去掉終點，那么就能做到超時空旅行。但這可能嗎？而如果存在這個終點，也就是有一個必然的結果，那么就一定存在初、終差異，就不可能實現所謂的超時空穿行。我們不討論到底能不能超時空，能不能折疊，但至少通過這樣的例子我們很清楚有沒有這個點是完全不同的，而且其測度（或者應該換一種叫法，叫量度？）是不同的。

, H8 K3 L% s6 @* c; m再回到所謂的維度上。
我們先不討論說線段是不是由點組成，我們既不討論其連續性，也不討論其測度。我們換一種說法，如果存在一個線段，那么我一定能在這個線段上找到點，無論能找到多少個，但我一定能找到。因此說，點和線段之間至少構成一個必要條件關系，也就是說，存在一個線段，就一定存在線段上的點。至于是不是線段上的點的組合構成了這個線段，從測度上說不是，我也不認同它是。所以才要在那句“線段由低維度的點組成”后面加上一個限制“并不是說線段上該有多少個點”。
另外，大俠說到了可數集和連續統的區別，也因此說線段不能說成由點組成。那么存在這樣一個問題又。（當然，俺數學一般，如果有錯，大俠指出）因為高維度可以解釋為低維度的笛卡爾積，而笛卡爾積是兩個集合的積，確切的說是兩個集合中的各個元素的積的集合。那么，如果這兩個集合不是可數集，而是連續統，即不可數集，你該如何求積呢？之前在跟P大討論無限小數的時候也討論過這個問題，兩個無限位的數能否四則運算。哈哈。那么這里的問題恐怕比那個還要復雜。換句話說，如果兩個連續統沒辦法求積，那么該如何表達高維度的特征呢？當然，我們只是探討，不能論證這種觀點的正確性。
5 v2 @: e5 M; s6 o8 Q另外，也說一句，如果高維度都是一維勒式測度的笛卡爾積，那么從0維到1維的過程該如何解釋？畢竟點是沒有維度的。