日志
應力集中與應力奇異（轉載）
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應力集中是在機械制造、航空航天、造船和建筑等工程應用領域中最常見的問題，指構件中應力分布不均在局部增高的現象。
開有圓孔或切口的板條受拉時，在圓孔或切口附近的局部區域，應力將急劇增加，但在離開圓孔或切口稍遠處，應力就迅速降低而趨于均勻。這種因桿件外形突然變化，而引起局部應力急劇增大的現象稱為應力集中。
各種材料對應力集中的敏感程度不同。用塑性材料制成的零件在靜載荷作用下，可以不考慮應力集中的影響。（塑性材料有屈服階段，當局部應力達到屈服極限時，該處材料可繼續增長，而應力確不增加。如果外力繼續增加，增加的力就有截面上尚未達到屈服極限的材料來承擔，使截面上其他點的應力相繼達到屈服極限。應力不均勻程度大大降低，也限制了最大應力值）
脆性材料沒有屈服階段，一直領先，首先達到強度極限，產生斷裂。所以要考慮應力集中對零件承載能力的削弱。
但是零件承受周期性載荷或沖擊載荷時，不論塑性材料還是脆性材料，應力集中對零件都會產生嚴重的影響。
（以上內容來自材料力學）
繼續:
高人的見解：應力集中是指的在某一個區域內應力梯度較大，如果網格稀疏的話，就不會捕捉到梯度變化較大的應力。有應力集中未必會是應力奇異。比如二維平面單元中間開有園孔，另一端受拉伸集度載荷，這樣園孔處有兩部分會發生應力集中。但是應力并不是無窮，即不存在應力奇異。但是應力奇異的地方一定存在應力集中。應力奇異是modelling過程造成的。我們知道實際問題中，奇異點處的應力不可能是無窮的。
應力奇異可以來自與很多因素，比如荷載，邊界條件，邊界的光滑性，材料系數的光滑性，等等。奇異點的存在導致有限元解的收斂速度很慢，尤其對于均勻劃分的網格。有興趣的可以試一下L形的平面問題，檢查一下均勻劃分網格情況下應變能的變化。使用局部細化或hp方法的原因是因為這兩種方法能使有限元解較快的收斂。但是注意應力奇異點是不能夠消除的。你的模型固定了，你的奇異點也固定了，通過計算是消除不掉的，計算是一個用估計解逼近一個真實解（精確解），精確解本身帶有奇異點，怎么能夠消除呢？所以嘗試消除應力奇異點的做法是錯誤的。如果想消除應力奇異點，你的modelling過程就需要改變。比如二維平面單元，在某一節點處加集中力，那么此處就是一個奇異點。要消除它的話，可以把集中力變成集度線載荷加到一段長度很小的線上，奇異點就沒有了。
奇異點的定義就是在某一個點處導數無窮。舉一個L形區域的平面問題，某一個邊固定，在另外的任意邊上加無窮小的集度荷載，我們會發現無論荷載多么小，角點處的應力都是無窮。這就是幾何形狀引起的奇異點。
現在問題來了，一方面我們知道角點處的應力無窮，另一方面我們知道對于很小的荷載，角點處的應力不可能是無窮的。問題出在什么地方呢？
首先數學模型都是建立在一些假設上的，比如對于一個二維平面問題，平衡方程為 div(sigma) =f。這個平衡方程是這么定義的呢？它是指在平面內（不包括邊界）任取一點，這個點的鄰域內的任意點都滿足該平衡方程（鄰域不接觸邊界）。從平衡方程中可以看出，我們是要求位移的二階倒數是連續的，這個要求有的時候很強。因為說不定某處的二階倒數根本不存在。對于L形區域問題，我們只知道區域內的位移的二階倒數是存在的，連續的。角點在邊界上，我們不知道二階導數的情況。有可能該點處的二階倒數，或一階倒數根本不存在。通過實際推倒我們可以發現，角點處的一階導數無窮。
有限元是用來解偏微分方程的工具。偏微分方程對導數的連續性是有要求的。但是有限元能夠弱化對導數的要求，比如有限元要求一階導數平方可積就行。所以有限元解可能比偏微分方程反映實際要解決的問題.
Tonnw：這個問題單元并不奇異，是幾何結構奇異，在角點有高應力，但不一定無窮大，應力值取決于載何大小（不同意，角點處應力無窮，角點附近的應力與載荷大小無關。）
1.應力理論趨于無窮大不代表實際應力值無窮大.最大實際應力不會超過材料的屈服應力,當線性應力超過屈服應力時,應起動塑性應力分析.（假設載荷無窮小，但是奇異點處的應力還是無窮大，難道還要啟動塑性應力分析。）
3.在單元形態不奇異下,細網格的應力更精確些,也就是更接近實際應力（應該是更接近精確解，即所要求解的偏微分方程的精確解）.
但細網格需更多的CPU時間和內存.所以當前后兩次網格的結果變化在可接受的范圍內（這個可接受范圍怎么定？，兩次結果變化指的是什么，某一點數值的變化？）
奇異點處，解析解是無窮大，與modeling等有關不能消除。有限元解，會逼近解析解，趨于無窮，然而實際中，真實的應力值是一個大值，應該與所加載荷有關具體，如何得到真實的應力值，不太清楚，請繼續探討這個問題！
開有圓孔或切口的板條受拉時，在圓孔或切口附近的局部區域，應力將急劇增加，但在離開圓孔或切口稍遠處，應力就迅速降低而趨于均勻。這種因桿件外形突然變化，而引起局部應力急劇增大的現象稱為應力集中。
各種材料對應力集中的敏感程度不同。用塑性材料制成的零件在靜載荷作用下，可以不考慮應力集中的影響。（塑性材料有屈服階段，當局部應力達到屈服極限時，該處材料可繼續增長，而應力確不增加。如果外力繼續增加，增加的力就有截面上尚未達到屈服極限的材料來承擔，使截面上其他點的應力相繼達到屈服極限。應力不均勻程度大大降低，也限制了最大應力值）
脆性材料沒有屈服階段，一直領先，首先達到強度極限，產生斷裂。所以要考慮應力集中對零件承載能力的削弱。
但是零件承受周期性載荷或沖擊載荷時，不論塑性材料還是脆性材料，應力集中對零件都會產生嚴重的影響。
（以上內容來自材料力學）
繼續:
高人的見解：應力集中是指的在某一個區域內應力梯度較大，如果網格稀疏的話，就不會捕捉到梯度變化較大的應力。有應力集中未必會是應力奇異。比如二維平面單元中間開有園孔，另一端受拉伸集度載荷，這樣園孔處有兩部分會發生應力集中。但是應力并不是無窮，即不存在應力奇異。但是應力奇異的地方一定存在應力集中。應力奇異是modelling過程造成的。我們知道實際問題中，奇異點處的應力不可能是無窮的。
應力奇異可以來自與很多因素，比如荷載，邊界條件，邊界的光滑性，材料系數的光滑性，等等。奇異點的存在導致有限元解的收斂速度很慢，尤其對于均勻劃分的網格。有興趣的可以試一下L形的平面問題，檢查一下均勻劃分網格情況下應變能的變化。使用局部細化或hp方法的原因是因為這兩種方法能使有限元解較快的收斂。但是注意應力奇異點是不能夠消除的。你的模型固定了，你的奇異點也固定了，通過計算是消除不掉的，計算是一個用估計解逼近一個真實解（精確解），精確解本身帶有奇異點，怎么能夠消除呢？所以嘗試消除應力奇異點的做法是錯誤的。如果想消除應力奇異點，你的modelling過程就需要改變。比如二維平面單元，在某一節點處加集中力，那么此處就是一個奇異點。要消除它的話，可以把集中力變成集度線載荷加到一段長度很小的線上，奇異點就沒有了。
奇異點的定義就是在某一個點處導數無窮。舉一個L形區域的平面問題，某一個邊固定，在另外的任意邊上加無窮小的集度荷載，我們會發現無論荷載多么小，角點處的應力都是無窮。這就是幾何形狀引起的奇異點。
現在問題來了，一方面我們知道角點處的應力無窮，另一方面我們知道對于很小的荷載，角點處的應力不可能是無窮的。問題出在什么地方呢？
首先數學模型都是建立在一些假設上的，比如對于一個二維平面問題，平衡方程為 div(sigma) =f。這個平衡方程是這么定義的呢？它是指在平面內（不包括邊界）任取一點，這個點的鄰域內的任意點都滿足該平衡方程（鄰域不接觸邊界）。從平衡方程中可以看出，我們是要求位移的二階倒數是連續的，這個要求有的時候很強。因為說不定某處的二階倒數根本不存在。對于L形區域問題，我們只知道區域內的位移的二階倒數是存在的，連續的。角點在邊界上，我們不知道二階導數的情況。有可能該點處的二階倒數，或一階倒數根本不存在。通過實際推倒我們可以發現，角點處的一階導數無窮。
有限元是用來解偏微分方程的工具。偏微分方程對導數的連續性是有要求的。但是有限元能夠弱化對導數的要求，比如有限元要求一階導數平方可積就行。所以有限元解可能比偏微分方程反映實際要解決的問題.
Tonnw：這個問題單元并不奇異，是幾何結構奇異，在角點有高應力，但不一定無窮大，應力值取決于載何大小（不同意，角點處應力無窮，角點附近的應力與載荷大小無關。）
1.應力理論趨于無窮大不代表實際應力值無窮大.最大實際應力不會超過材料的屈服應力,當線性應力超過屈服應力時,應起動塑性應力分析.（假設載荷無窮小，但是奇異點處的應力還是無窮大，難道還要啟動塑性應力分析。）
3.在單元形態不奇異下,細網格的應力更精確些,也就是更接近實際應力（應該是更接近精確解，即所要求解的偏微分方程的精確解）.
但細網格需更多的CPU時間和內存.所以當前后兩次網格的結果變化在可接受的范圍內（這個可接受范圍怎么定？，兩次結果變化指的是什么，某一點數值的變化？）
奇異點處，解析解是無窮大，與modeling等有關不能消除。有限元解，會逼近解析解，趨于無窮，然而實際中，真實的應力值是一個大值，應該與所加載荷有關具體，如何得到真實的應力值，不太清楚，請繼續探討這個問題！
