軸向受拉圓管的內外徑變形研究（初步）

逍遙處士

無事看貼時，發現一個很久以前的題目。說一個圓管，在受到軸向拉伸時，其內徑是變大還是變小？
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初想此事很容易，但細想，頗費思量。設圓管內徑r1，外徑r2，受軸向拉力，并且應力在截面上是均勻分布的，那么根據胡克定律，圓筒在軸向是伸長的。同時，根據材料的泊松比，即材料在一個方向受到拉力時，在另外兩個方向會自己收縮。另外兩個方向，無非是徑向和環向，再加上軸向，剛好湊上空間的三個方向。
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" L* w$ Z2 `+ R  v這個破費思量，問題在哪里呢？如果是實心圓柱，問題就很簡單了，半徑r變小就對了。但是這里有三個參數，內徑r1，外徑r2，壁厚δ，就不太好一眼看出來。若以壁厚為準來判斷，那么外徑變小，內徑變大，則壁厚變小，似乎可以說的過去；但總感覺內徑變大，似難以令人信服；另外，如果外徑變小，內徑也變小，那么壁厚是變大還是變小呢？變小多少呢？
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  W: |  H2 f; F6 U就我的理解，泊松效應反應的，可以說是材料的“每個微粒”的性質，也就是說，當在正向受拉力時，在另外兩個側向上，任意找兩點連成一條線段（無論多么遠，也無論多么近），那么這條線段都是符合泊松效應的。有人說，如果是一個圓呢？經過研究，圓也是符合的。為什么呢？因為圓可以視作正n多邊形，那么每一條邊都是一條線段，當n很大時，這個多邊形和圓就幾乎沒有分別了。所以說圓也是符合泊松效應的，它不過是很多線段組成的一個特例。

那么就本例看來，有3個方面是符合泊松效應的。即內周長C1，外周長C2，壁厚δ，并且它們的應變都是相等的。
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前面說過頗費思量，既然頗費思量，那就借助代數符號吧，將思維過程，固化到紙上，來幫助思維，于是列出式子來推算。
最后得出的結論是，無論軸向是拉是壓，內外徑變大還是縮小，變形前后，有一個數是始終不變的，那就是——內外徑之比！
8 G# Q; H9 b5 p$ D: O  U（純粹是理論推導結果，推導的正確與否，與實際是否符合，還未可知，請不吝賜教！）
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$ Z8 E% l+ L: i2 G如果拉伸的是內徑φ60外徑φ120的圓管，它可能的變形如下圖，可以看出，外徑縮小量，比內徑縮小量要大：


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( L; j8 H' b# j" E  B……式子推到一半時，軟件崩潰了！算了，夜已深，回去休息吧。洗漱完畢，坐在床上，想到式子沒推完，尋摸著，摸到一支筆！但卻沒找到紙！沒奈何，扯到一張衛生紙湊合寫起。這一寫感覺還挺好，源源不斷的，心想以后也不用買本兒了，就用它吧 ^_^
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( h, X& {: y2 B- t7 M% j/ b% |星爺曾說過，“即使是一條底褲，一張衛生紙，都有它的用處”，……信哉斯言！
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探索號QM

; y2 x0 T' G: ^6 f# F/ f% \換句話說，就是在軸向均布載荷作用下，垂直于軸線的截面上，任何一點的徑向應變應該都是相同的？
$ ^0 C7 B4 \3 x2 [# ]/ g軸向載荷的形式有沒有設定上的不同？

LIAOYAO

管和棒的變形規律應該類似，始由厚度變化，管壁先變薄往厚度中間移動，在管壁被拉薄其拉強增高，當大于圓管整體拉強后，管整開始出現內縮現象，如此反復互動，直到管整某處產生裂紋，隨后迅速擴展成裂縫，再繼續拉則最終拉斷圓管。

mfka

大俠的鉆研精神值得佩服。
半夜三更不睡覺，老婆沒嘮叨你？

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新人不懂

zerowing

看看這個。
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zerowing

于是有以下推論。
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那么很顯然，作為壁厚的t的變量為0。也就是說，當拉伸的時候，外徑和內徑同時減小，但壁厚不變。
/ o  k, X: [* w; {于是作了個簡單的有限元。
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從圖里能看到這個變化趨勢。圖為拉伸后的合位移向量圖。
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zerowing

這張是拉伸力發達1000倍以后的，實際上已經發生塑性變形。
可以看下端面的情況。
四個圓表示變化前后的圓環面位置。從圖上看，在變形量發大1400倍的情況下，壁厚幾乎不變。
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minfu51

都是高手啊

逍遙處士

zerowing 發表于 2013-7-14 15:30
" A" G' ]4 h- m3 ~這張是拉伸力發達1000倍以后的，實際上已經發生塑性變形。
& I% e% U  e: ?" T8 `7 W可以看下端面的情況。
四個圓表示變化前后的圓 ...

  v; S: d# E7 {$ I5 d5 O壁厚沒變化？不合理啊？
能否在未變形的截面上標記兩個點，測量它們的距離，變形后再測量一次？