軸向受拉圓管的內(nèi)外徑變形研究（初步）

逍遙處士

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. U# A4 L8 b( ^2 T5 ]2 N* U! H2 _8 ]無(wú)事看貼時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)很久以前的題目。說(shuō)一個(gè)圓管，在受到軸向拉伸時(shí)，其內(nèi)徑是變大還是變小？

; e! r* X& n7 W5 W# R初想此事很容易，但細(xì)想，頗費(fèi)思量。設(shè)圓管內(nèi)徑r1，外徑r2，受軸向拉力，并且應(yīng)力在截面上是均勻分布的，那么根據(jù)胡克定律，圓筒在軸向是伸長(zhǎng)的。同時(shí)，根據(jù)材料的泊松比，即材料在一個(gè)方向受到拉力時(shí)，在另外兩個(gè)方向會(huì)自己收縮。另外兩個(gè)方向，無(wú)非是徑向和環(huán)向，再加上軸向，剛好湊上空間的三個(gè)方向。

這個(gè)破費(fèi)思量，問(wèn)題在哪里呢？如果是實(shí)心圓柱，問(wèn)題就很簡(jiǎn)單了，半徑r變小就對(duì)了。但是這里有三個(gè)參數(shù)，內(nèi)徑r1，外徑r2，壁厚δ，就不太好一眼看出來(lái)。若以壁厚為準(zhǔn)來(lái)判斷，那么外徑變小，內(nèi)徑變大，則壁厚變小，似乎可以說(shuō)的過(guò)去；但總感覺(jué)內(nèi)徑變大，似難以令人信服；另外，如果外徑變小，內(nèi)徑也變小，那么壁厚是變大還是變小呢？變小多少呢？

$ K: s* z$ b2 z, u0 G3 w, ^$ f就我的理解，泊松效應(yīng)反應(yīng)的，可以說(shuō)是材料的“每個(gè)微粒”的性質(zhì)，也就是說(shuō)，當(dāng)在正向受拉力時(shí)，在另外兩個(gè)側(cè)向上，任意找兩點(diǎn)連成一條線段（無(wú)論多么遠(yuǎn)，也無(wú)論多么近），那么這條線段都是符合泊松效應(yīng)的。有人說(shuō)，如果是一個(gè)圓呢？經(jīng)過(guò)研究，圓也是符合的。為什么呢？因?yàn)閳A可以視作正n多邊形，那么每一條邊都是一條線段，當(dāng)n很大時(shí)，這個(gè)多邊形和圓就幾乎沒(méi)有分別了。所以說(shuō)圓也是符合泊松效應(yīng)的，它不過(guò)是很多線段組成的一個(gè)特例。

那么就本例看來(lái)，有3個(gè)方面是符合泊松效應(yīng)的。即內(nèi)周長(zhǎng)C1，外周長(zhǎng)C2，壁厚δ，并且它們的應(yīng)變都是相等的。
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2 _2 `$ \9 i4 i' o- H前面說(shuō)過(guò)頗費(fèi)思量，既然頗費(fèi)思量，那就借助代數(shù)符號(hào)吧，將思維過(guò)程，固化到紙上，來(lái)幫助思維，于是列出式子來(lái)推算。
最后得出的結(jié)論是，無(wú)論軸向是拉是壓，內(nèi)外徑變大還是縮小，變形前后，有一個(gè)數(shù)是始終不變的，那就是——內(nèi)外徑之比！
7 g) c$ u7 \4 ^) S& v（純粹是理論推導(dǎo)結(jié)果，推導(dǎo)的正確與否，與實(shí)際是否符合，還未可知，請(qǐng)不吝賜教！）
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% Z( S/ O0 R9 `: Z! z5 o如果拉伸的是內(nèi)徑φ60外徑φ120的圓管，它可能的變形如下圖，可以看出，外徑縮小量，比內(nèi)徑縮小量要大：

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( j' Q, q5 m: f/ J  w……式子推到一半時(shí)，軟件崩潰了！算了，夜已深，回去休息吧。洗漱完畢，坐在床上，想到式子沒(méi)推完，尋摸著，摸到一支筆！但卻沒(méi)找到紙！沒(méi)奈何，扯到一張衛(wèi)生紙湊合寫(xiě)起。這一寫(xiě)感覺(jué)還挺好，源源不斷的，心想以后也不用買(mǎi)本兒了，就用它吧 ^_^

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星爺曾說(shuō)過(guò)，“即使是一條底褲，一張衛(wèi)生紙，都有它的用處”，……信哉斯言！

探索號(hào)QM

換句話說(shuō)，就是在軸向均布載荷作用下，垂直于軸線的截面上，任何一點(diǎn)的徑向應(yīng)變應(yīng)該都是相同的？
$ q0 I& r" f7 t) W6 n5 w) ?軸向載荷的形式有沒(méi)有設(shè)定上的不同？

LIAOYAO

管和棒的變形規(guī)律應(yīng)該類似，始由厚度變化，管壁先變薄往厚度中間移動(dòng)，在管壁被拉薄其拉強(qiáng)增高，當(dāng)大于圓管整體拉強(qiáng)后，管整開(kāi)始出現(xiàn)內(nèi)縮現(xiàn)象，如此反復(fù)互動(dòng)，直到管整某處產(chǎn)生裂紋，隨后迅速擴(kuò)展成裂縫，再繼續(xù)拉則最終拉斷圓管。

mfka

大俠的鉆研精神值得佩服。
# L* `2 `  Y3 {* x- {( d" J半夜三更不睡覺(jué)，老婆沒(méi)嘮叨你？

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新人不懂

zerowing

看看這個(gè)。
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zerowing

于是有以下推論。

那么很顯然，作為壁厚的t的變量為0。也就是說(shuō)，當(dāng)拉伸的時(shí)候，外徑和內(nèi)徑同時(shí)減小，但壁厚不變。
5 x4 |6 |- \4 o: q7 f3 q* ?于是作了個(gè)簡(jiǎn)單的有限元。

從圖里能看到這個(gè)變化趨勢(shì)。圖為拉伸后的合位移向量圖。
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zerowing

這張是拉伸力發(fā)達(dá)1000倍以后的，實(shí)際上已經(jīng)發(fā)生塑性變形。
可以看下端面的情況。
$ {( M* p3 k- P4 q7 y1 a0 |. m- n四個(gè)圓表示變化前后的圓環(huán)面位置。從圖上看，在變形量發(fā)大1400倍的情況下，壁厚幾乎不變。

minfu51

都是高手啊

逍遙處士

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zerowing 發(fā)表于 2013-7-14 15:30
+ ?" M0 B0 G' H! g  S1 U2 |這張是拉伸力發(fā)達(dá)1000倍以后的，實(shí)際上已經(jīng)發(fā)生塑性變形。
可以看下端面的情況。
4 C. a, P9 T  C7 m5 X6 @: Y四個(gè)圓表示變化前后的圓 ...

& H. x2 F& f6 O1 m# l壁厚沒(méi)變化？不合理啊？
能否在未變形的截面上標(biāo)記兩個(gè)點(diǎn)，測(cè)量它們的距離，變形后再測(cè)量一次？
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