0.999......到底應不應該等于1？

何為機械

感覺在鉆牛角

zerowing

Pascal 發表于 2014-6-15 09:45
呵呵，zero大俠，我試著解釋下。
1. 無限小數不能四則運算，不代表不能進行不等式運算。0.111......

P大。爭論點貌似已經清晰了，只在一個四則運算的存在意義上。呵呵，這么討論挺有意思的。
我說下我說的思路，首先，不等式的存在沒有問題，你可以說1與0.9999...的差值小于0.1,0.01,0.001等等，這些都沒問題。但是就如同說無限小數四則運算一樣，這種無限小的比較你也無法找到一個最終的“右位”，不是嗎？因為同樣找不到一個最終的“右位”，那么1和0.999...的差值又該如何定義呢？魏先生的原話提到的是“差值”，而這個值是如何得到的才是關鍵。如果沒有四則這個前提，那么這個差值本身也沒有存在的意義不是嗎？
" j: Q! K" K2 t( R, O! `9 m所以，我才會提到柯西，因為柯西收斂可以解釋這個過程。或者說等比級數收斂也可以解釋這樣的一個過程。因為一個收斂的函數一定存在一個極限值。
8 r* [6 |7 c6 t$ `3 K" B, H5 h: L呵呵。

Pascal

zerowing 發表于 2014-6-15 15:08
P大。爭論點貌似已經清晰了，只在一個四則運算的存在意義上。呵呵，這么討論挺有意思的。
7 K" j6 y; h) [* O; H. f我說下我說的思 ...

zero大俠：
1. 不等式不需要具體的差值。比如0.2<0.2.....<0.3, 0.1<0.1....<0.2
' N% e- K  r% P4 @     由上面2個不等式可以得到0<0.2....-0.1....<0.2。我不需要具體差值的定義，就能把2個無限小數的差值控制在一個范圍了。
2. 實數理論確實有好幾個體系，但零俠肯定知道這幾個體系都是等價的。分析書上都有證明。所以“討論一個數系，無論是原理還
    是論證方法，其引用最好出自一人”，我覺得沒必要。
5 h' l0 ?" o5 Q' h. c
; t' ~8 I  @) y, H0 ]8 ?# f5 d/ I

茉莉素馨

zerowing 發表于 2014-6-15 15:08
P大。爭論點貌似已經清晰了，只在一個四則運算的存在意義上。呵呵，這么討論挺有意思的。
我說下我說的思 ...

幾位大俠其實都是在討論實數系的構造
記得中科大 史濟懷的書里面是用無限小數構造的實數系
& J9 {  D' M$ b" b而rudin的書里面，使用cauchy sequence 和 cuting 來構造的
總之，實數這個基礎還是穩固的，沒什么可爭論的
論壇里，時不時就會有人拿這個問題出來討論一下，哈哈

zerowing

Pascal 發表于 2014-6-15 20:31
zero大俠：
% r! ^4 i+ r% c3 q& S6 {: N1. 不等式不需要具體的差值。比如0.2

1.你這么寫，本身要承認不等號兩側的可加減性的。你可以說我不用找到一個具體的“右位”去進位，但是卻是在應用不等號兩側共加的性質，不是嗎？如果這么寫是成立的。那么這種性質跟是否應用不等式無關，只跟是否承認加減性有關。那么同樣也可以寫：
- w0 n7 \: z; S1 X  X' e4 L1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
4 D2 o) p+ T& O, }也就是說，這個關系中，因為承認兩側共加的成立，所以，0.666...恒等于0.333...+0.333...。當然，你仍然可以說，只是等于，而沒有進行實際的四則。那么這就是我前面說的，如果存在一個公理或者一個定理，其存在一個充要的推論，那么這個推論就是可以被直接使用的。那么對于上述等式，其實質就是定理得充要推論，又緣何有無意義之說呢？豈不是成了雙重標準？
當然，你也可以繼續強調說，兩個無限循環小數因為不能找到最終的“右位”，所以用有限位的四則運算不符合無限的要求。其根本在于不能進行“右位”的起始。而同樣的，在進行1與0.999...的差值比較時，實際上在引入一個“右位”，即，無論你找到多小的一個位數值，（1/10)^a, a屬于正整數，都一定存在這個差值b，b<1(1/10)^a，即，b一定為這個無限小值的右位，而同時隱帶的一個條件就是，這個無限小值的右位如果可以被找到，就可以依次進行四則。呵呵，沒錯吧。
那么這里就存在我說的要引用同一個源的理論的問題。
對于通常可證的1=0.999...，其基礎是實數的阿基米德性質。也就是不存在非0無窮小，這也是魏先生在用一個精確的描述“差值”的原因，“其差值小于任何一個設定的常數小值”。換句話說，這個定義一定是在基于不存在非0無窮小的基礎上，討論一個可以被設定的有限“右位”的情況。而這個就是同張先生理論沖突的地方。張先生認定了區間套，而不肯定有限位的四則，那么也就是說在這樣的一個區間套中，你不能設定一個有限“右位”。所以，二者不可能同時應用的。
4 ?, A  ?! D/ x同樣的，換句話說，你承認不等式及其性質。那么本身１-0.999....<0.1or0.01...這樣一個不等式實際上是不滿足本身定義的。
首先，不等比式四則形式的基本是比較不等號兩側的實數。那么你可以說1<a，a為一個實數。1-0.999...<a-0.9999...。這是成立的。而，對于1-0.9999...同0.1或者0.001這樣的比較，本身則需要證明。不是嗎？因為，你并不承認1與0.999..之間可以進行直接的四則。那么，在不等式兩邊去比較一個實數值同一個算式的大小是沒有意義的。這就好似我不能說磚<刀。

總之，大俠說的四則的運算意義，其實本身就是在討論一個區間套。你定義出一個區間套，那么四則本身就要發生變化。你定義的是一個限位，那么四則本身就是另一個系統。所以，于我來說，我不能說服大俠接受可以四則的理論，而大俠所敘述的理論本身于我來說卻相對矛盾。哈哈。至于數系是否等價，至少目前知道的有一些是不等的。比如P進數。因為在p進數中，可以證明....999.99999.....這樣的無限小數是等于0的。哈哈。

Pascal

zerowing 發表于 2014-6-16 00:24
1.你這么寫，本身要承認不等號兩側的可加減性的。你可以說我不用找到一個具體的“右位”去進位，但是卻是 ...

zero 大俠，抱歉，你這個帖子我沒怎么看懂。
1. P進數，我沒聽說過，是實數理論之一么？
( A" @7 K3 P7 m' T# C2. “承認不等號兩側的可加減性”與“找到一個具體的“右位”去進位”怎么就矛盾了？
3. 我不承認1與0.999..之間可以進行直接的四則，不代表我不能對差值的范圍進行運算啊。

zerowing

Pascal 發表于 2014-6-16 10:49
# q4 L( c- `2 _3 Mzero 大俠，抱歉，你這個帖子我沒怎么看懂。
; S( X, g7 y3 |: j! s; W+ ]1. P進數，我沒聽說過，是實數理論之一么？
- _5 ^% O& f4 k1 Z: Z/ N& c2. “承認不等 ...

P大，可能說得有點繞。
4 L3 x* `8 s/ N+ j9 w5 `4 G0 G1. p進數是有理數的一個擴展數域，但與常見的實數域拓展不同。不過我對此的認識也緊限于知道。呵呵。但據說這個數域在前沿學科內應用很廣。
8 F( d) i, x/ U0 L) ]2. 關于差值問題。首先，只有當你能判斷相比較的兩個實數的大小時，你才能判斷其差值。也就是所謂在一個數軸上，你要先能判斷出二者的左右關系。其次，當你能判斷出左右關系后，你必須通過一個減法處理，才能得到一個“差值”。如果存在兩個實數ａ，ｂ。你既不能判斷其大小，又不能進行減法，那么你該如何定義和比較ａ-b這個代數式呢？這就是我在說的矛盾。
同樣的，對于1-0.99....這個算式，你既不能判斷其大小，又不能進行加減法，你如何得到一個其差值小于0.1,0.01這樣的結果的呢？你不要說因為他一定比0.1小這種話，因為這種說法在數學推理和證明里行不通的。你可以說，1<1.1。1-0.99..<1.1-0.99..
3 F/ @0 g2 L. p  _/ ^; l% R但卻不能得到1-0.99..<1.1-1。對嗎？對于這樣一個不等式，0.99..和1的大小在你證明前，你是不能應用其大小概念的。
! A7 y$ n) _1 z0 K4 D1 M然后說右位問題，這里還要提那句，對于阿基米德性質的完備數系，不存在非0無窮小。也就是說，lim(1/10)^n=0，而不是一個找不到右位的小數。所以，在這個前提下，魏先生的比較說法，其實在說1與0.99...的差值是一個無窮小，即0，而0是一定小于你能設定的任意小的實數的。
, O: k8 I& Q: a9 k% y' O5 W( X3 C" @這里，我必須承認一點，在存在進位問題的無限小數運算中，這個所謂的右位其實是個麻煩。比如0.77...+0.33...。這種情況符合張先生所說的右位進位問題。但是實際上卻不需要去找右位。因為這樣的式子其實可以寫成0.77...+0.22...+0.11...=1+0.11...=1.1...（先假設可以四則）。即實際上，這種無限小數的運算也在遵循基礎的整數運算時的計算規律，比如7+4=7+3+1=10+1=11。為什么要強調這個，因為雖然我們常用的是10進制計數，但實際上存在12進制，8進制，2進制等多種記數法。所以，四則運算的進位本質上都是在分解和結合處一個個的可進位數，然后再逐位寫出余數這個過程中進行的。而對于無限小數，其計算實質也是如此。雖然，對于無理數來說，這樣的計算變得相當困難。比如pi。而對于這類無理數，實際運算中，多數時候都是按照有限位四則運算的。因為你不能最后只寫一個4pi,5pi之類的代數。實際使用中，你是一定要有所取舍的。

Pascal

zerowing 發表于 2014-6-16 13:54
" |5 I' o1 T7 e+ k6 L9 w! \P大，可能說得有點繞。
1. p進數是有理數的一個擴展數域，但與常見的實數域拓展不同。不過我對此的認識也 ...

zero俠，這個帖子寫得很明白，謝謝！
4 s  f3 a$ F. Z* |我還沒想好怎么回復你，可否讓我掛下免戰牌？

Pascal

zerowing 發表于 2014-6-16 13:54
P大，可能說得有點繞。
4 x  H( ^/ r1 x1. p進數是有理數的一個擴展數域，但與常見的實數域拓展不同。不過我對此的認識也 ...

zero大俠：
2 K; X+ Y: q# D+ [! N! `& }: t$ R- w1. 數量比較是不需要具體差值的，也就不存在假定最右一位的說法。比如咱倆來比身高，零俠身高1.8......，我身高1.7.....。咱倆只要站一起，社友們立馬就知道誰高了，但是咱倆身高具體差值他們不知道。社友們做了數量比較不等于他們計算了1.8....-1.7.....的差值。計算差值只是比較的一個手段。
( ]# i- f1 @0 w2. 證明1-0.9...=0只需要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數就行了，數量比較不一定非要具體差值的。
3. 數學的證明，一步步都是有來歷的，沒有定義的運算不能算，但下面幾個運算是可以的，因為有定義。

0.1....-0.1.....=0
& X) E7 Y$ b9 Z# Q" h: W    1x0.1....=0.1.....
    0.1.....+0=0.1.....

4. “如果存在一個公理或者一個定理，其存在一個充要的推論，那么這個推論就是可以被直接使用的。那么對于上述等式，其實質就是定理得充要推論，又緣何有無意義之說呢？”
) G8 Z  ?+ _6 K7 D   你這句話，我承認“如果存在一個公理或者一個定理，其存在一個充要的推論，那么這個推論就是可以被直接使用的。”
   可是2/3=1/3+1/3=0.333...+0.333...說明了什么？只能說明2個量相等，能說明無限小數直接加是可以的？
3 \9 \, g& Z5 R8 i% V, y' }    比如：1+1/4+1/8+1/16+.....=(1+1/4)+(1/8+1/16)+.....，你能就此得出無窮項加法里結合律是可以用的么？
: x; _. z' g# F9 {0 }
% `& y0 p* y/ |% v6 r0 J

少-俠

馬克思教導我們 ：具體情況具體分析，我們要以辯證的目光來看問題
其實0.9999…… 與1二者是相互滲透相互轉化相互影響。
在一定條件下，0.99999……可以看作1 ，在一定條件下，1又可以看作0.9999……
  O/ M, ~$ y' R( E8 k* P* g& d綜上 ， 0.999999……就是1  得證