【機(jī)械原理】一般漸開線直齒圓柱齒輪的齒廓繪制（續(xù)）

DaedraMech

書接上文：
http://www.odgf.cn/thread-1074105-1-1.html【機(jī)械原理】一般漸開線直齒圓柱齒輪的齒廓繪制
說(shuō)到了單個(gè)齒槽的繪制，此時(shí)以齒槽作為草圖輪廓進(jìn)行拉伸切除、陣列特征后即可得到完整的齒輪：

講到這里我們先回回味兒，如果有壇友按樓主的步驟一點(diǎn)點(diǎn)做下來(lái)的話就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在獲取對(duì)側(cè)齒廓這一步中，原齒廓經(jīng)過(guò)鏡像的草圖直接變成了樣條曲線，完全沒(méi)有任何方程式去控制它，兩齒廓之間也不會(huì)添加鏡像關(guān)系約束，這顯然對(duì)參數(shù)化設(shè)計(jì)是非常不利的，草圖也容易在后續(xù)的修改過(guò)程中亂掉。

為應(yīng)對(duì)這個(gè)問(wèn)題，樓主的辦法是利用線性代數(shù)知識(shí)，對(duì)原方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，直接推導(dǎo)出鏡像齒廓的參數(shù)方程。熟悉線代的朋友們都知道，坐標(biāo)（或向量）的線性變換其實(shí)本質(zhì)是坐標(biāo)系基底的線性變換，如果能獲知變換后新坐標(biāo)系的基底，就可以通過(guò)左乘由基底組成的變換矩陣來(lái)使任意坐標(biāo)（或向量）實(shí)現(xiàn)同樣的變換。鏡像變換也是一種線性變換，要實(shí)現(xiàn)它關(guān)鍵就是要找到鏡像坐標(biāo)系的基底。

如下圖所示，原齒廓是從基圓上展成的，參數(shù)t是從0開始取的，不難發(fā)現(xiàn)原坐標(biāo)系就是以輪坯圓心為原點(diǎn)，以水平線為x軸，豎直線為y軸；從原齒廓的起點(diǎn)開始，在基圓上跨過(guò)一段基圓槽寬后取點(diǎn)，在該點(diǎn)處與圓心連線，該連線就是鏡像坐標(biāo)系的x軸，過(guò)圓心垂直x軸朝下的直線就是鏡像坐標(biāo)系的y軸：

這里定義基圓槽寬所對(duì)圓心角為β，分度圓槽寬所對(duì)圓心角為φ，分度圓展角為θ，分度圓壓力角為α，通過(guò)下列計(jì)算即可得出鏡像齒廓的參數(shù)方程：

和之前的操作一樣，將參數(shù)式輸入到SW中，便可繪制處對(duì)側(cè)齒廓：


接下來(lái)我們?cè)偬接懴伦兾积X輪如何繪制。
要正確繪制變位齒輪就要先搞清楚“變位”到底給齒輪的幾何尺寸帶來(lái)了哪些變化。
如圖所示，變位后，刀具中線雖然偏移了機(jī)床節(jié)線一小段距離，但由于刀具只是位置發(fā)生了移動(dòng)，其齒形角α并未發(fā)生改變，因此rb=r*cosα依然成立。變位前后，齒輪的模數(shù)、壓力角、齒距和基圓都沒(méi)有發(fā)生任何改變，發(fā)生變化的是齒頂高、齒根高（正變位齒頂高增加、齒根高減少；負(fù)變位齒頂高減少、齒根高增加）、齒厚和槽寬（正變位齒厚增加、槽寬減少；負(fù)變位齒厚減少、槽寬增加）。也就是說(shuō)變位前后漸開線的方程式并未改變，只是在不同的變位系數(shù)下，漸開線的截取部位不同罷了。齒厚和槽寬的變化也使得上述鏡像操作中的槽寬圓心角發(fā)生變化，因而產(chǎn)生不同的鏡像齒廓。

接下來(lái)如果我們能得到變位后的分度圓槽寬和基圓槽寬，“獲得鏡像齒廓”這最難的一步就迎刃而解了，兩側(cè)漸開線都拿到手后再用變位后的齒頂圓和齒根圓截取，便能得到我們切除所需的齒槽草圖輪廓了。

以正變位為例，如下圖所示，正變位后的槽寬無(wú)非就是減少了2倍的KJ段長(zhǎng)度，我們拿一個(gè)具體的例子計(jì)算一下：


變位齒輪的幾何尺寸已經(jīng)確定，我們回到SW中輸入剛剛算得的數(shù)據(jù)，便可獲得所需的變位齒輪了：

下圖可以直觀對(duì)比變位前后的齒廓變化：

回到出發(fā)點(diǎn)“手繪”，其實(shí)我自己見過(guò)的方法不過(guò)有三：一是開篇提到的筆栓繩子到圓柱上或者拿直尺在圓上做純滾動(dòng)，用直尺的特定刻度推動(dòng)筆尖畫線；二是在不同的展角下計(jì)算多處發(fā)生線的長(zhǎng)度并畫為基圓切線，再用曲率尺連接各發(fā)生線端點(diǎn)成為樣條曲線；三是拿硬紙板制成的標(biāo)準(zhǔn)齒條，在紙上沿直線推動(dòng)，每推動(dòng)一小段距離就轉(zhuǎn)動(dòng)圖紙一個(gè)小角度（距離和角度要符合純滾動(dòng)的幾何關(guān)系）并描出齒條的齒廓，描畫多次后便是利用范成法包絡(luò)出了齒輪的齒形。不過(guò)不管哪種都相當(dāng)考驗(yàn)操作就是了。

齒輪的繪制講到這就先告一段落了，如果還有其他內(nèi)容想了解可以回復(fù)樓主，有時(shí)間就針對(duì)性地開貼討論。

shentu

數(shù)學(xué)功力太強(qiáng)。。。。。。我基本看不太懂。

DaedraMech

shentu 發(fā)表于 2024-8-27 22:41
數(shù)學(xué)功力太強(qiáng)。。。。。。我基本看不太懂。

大部分其實(shí)都是三角函數(shù)，老哥對(duì)照著示意圖推導(dǎo)一定沒(méi)問(wèn)題的（抱拳）

Lixinwu

真正的工程師決不會(huì)糾結(jié)在具體的畫這種圖上，耗時(shí)間，廢腦筋，現(xiàn)在SW的齒輪插件太多了，何必將寶貴的時(shí)間花在這上面?

FKUEDEJXSQ2

666

littlecan

Lixinwu 發(fā)表于 2024-8-28 05:39
真正的工程師決不會(huì)糾結(jié)在具體的畫這種圖上，耗時(shí)間，廢腦筋，現(xiàn)在SW的齒輪插件太多了，何必將寶貴的時(shí)間花 ...

一，有時(shí)候插件亂碼，生成不出來(lái)
二，有的插件是點(diǎn)源連線的擬合曲線，不是真正的理論齒闊，對(duì)于仿真 測(cè)繪對(duì)比都不精確
三，DIN標(biāo)準(zhǔn)的漸開線花鍵齒，我找了幾個(gè)插件生成不了，只能是手畫

來(lái)自何方

littlecan 發(fā)表于 2024-8-28 08:43
一，有時(shí)候插件亂碼，生成不出來(lái)
二，有的插件是點(diǎn)源連線的擬合曲線，不是真正的理論齒闊，對(duì)于仿真 測(cè) ...

就是geartrax也不行嗎

盧Tiger

在CAD中生成一個(gè)輪廓，到3D成型就可以了，簡(jiǎn)單方便

littlecan

好帖啊！當(dāng)初搞DIN5480的 帶變位系數(shù)的漸開線花鍵，半年沒(méi)有琢磨透參數(shù)方程該怎么搞。
最后是 從變位原理，直接徑向平移的齒廓線xm，我理解這齒闊還是原來(lái)的那一段，
只是在不同的變位系數(shù)下，漸開線的截取部位不同罷了，
樓主這里是這么理解變位的，我抽空再看看。

littlecan

來(lái)自何方 發(fā)表于 2024-8-28 08:46
就是geartrax也不行嗎

你可以試試，不同軟件生成的齒廓線 有不一樣的。尤其是帶變位系數(shù)的。