【機械原理】一般漸開線直齒圓柱齒輪的齒廓繪制（續）

DaedraMech

書接上文：
http://www.odgf.cn/thread-1074105-1-1.html【機械原理】一般漸開線直齒圓柱齒輪的齒廓繪制
說到了單個齒槽的繪制，此時以齒槽作為草圖輪廓進行拉伸切除、陣列特征后即可得到完整的齒輪：

講到這里我們先回回味兒，如果有壇友按樓主的步驟一點點做下來的話就會發現，在獲取對側齒廓這一步中，原齒廓經過鏡像的草圖直接變成了樣條曲線，完全沒有任何方程式去控制它，兩齒廓之間也不會添加鏡像關系約束，這顯然對參數化設計是非常不利的，草圖也容易在后續的修改過程中亂掉。

為應對這個問題，樓主的辦法是利用線性代數知識，對原方程進行坐標變換，直接推導出鏡像齒廓的參數方程。熟悉線代的朋友們都知道，坐標（或向量）的線性變換其實本質是坐標系基底的線性變換，如果能獲知變換后新坐標系的基底，就可以通過左乘由基底組成的變換矩陣來使任意坐標（或向量）實現同樣的變換。鏡像變換也是一種線性變換，要實現它關鍵就是要找到鏡像坐標系的基底。

如下圖所示，原齒廓是從基圓上展成的，參數t是從0開始取的，不難發現原坐標系就是以輪坯圓心為原點，以水平線為x軸，豎直線為y軸；從原齒廓的起點開始，在基圓上跨過一段基圓槽寬后取點，在該點處與圓心連線，該連線就是鏡像坐標系的x軸，過圓心垂直x軸朝下的直線就是鏡像坐標系的y軸：

這里定義基圓槽寬所對圓心角為β，分度圓槽寬所對圓心角為φ，分度圓展角為θ，分度圓壓力角為α，通過下列計算即可得出鏡像齒廓的參數方程：

和之前的操作一樣，將參數式輸入到SW中，便可繪制處對側齒廓：


接下來我們再探討下變位齒輪如何繪制。
要正確繪制變位齒輪就要先搞清楚“變位”到底給齒輪的幾何尺寸帶來了哪些變化。
如圖所示，變位后，刀具中線雖然偏移了機床節線一小段距離，但由于刀具只是位置發生了移動，其齒形角α并未發生改變，因此rb=r*cosα依然成立。變位前后，齒輪的模數、壓力角、齒距和基圓都沒有發生任何改變，發生變化的是齒頂高、齒根高（正變位齒頂高增加、齒根高減少；負變位齒頂高減少、齒根高增加）、齒厚和槽寬（正變位齒厚增加、槽寬減少；負變位齒厚減少、槽寬增加）。也就是說變位前后漸開線的方程式并未改變，只是在不同的變位系數下，漸開線的截取部位不同罷了。齒厚和槽寬的變化也使得上述鏡像操作中的槽寬圓心角發生變化，因而產生不同的鏡像齒廓。

接下來如果我們能得到變位后的分度圓槽寬和基圓槽寬，“獲得鏡像齒廓”這最難的一步就迎刃而解了，兩側漸開線都拿到手后再用變位后的齒頂圓和齒根圓截取，便能得到我們切除所需的齒槽草圖輪廓了。

以正變位為例，如下圖所示，正變位后的槽寬無非就是減少了2倍的KJ段長度，我們拿一個具體的例子計算一下：


變位齒輪的幾何尺寸已經確定，我們回到SW中輸入剛剛算得的數據，便可獲得所需的變位齒輪了：

下圖可以直觀對比變位前后的齒廓變化：

回到出發點“手繪”，其實我自己見過的方法不過有三：一是開篇提到的筆栓繩子到圓柱上或者拿直尺在圓上做純滾動，用直尺的特定刻度推動筆尖畫線；二是在不同的展角下計算多處發生線的長度并畫為基圓切線，再用曲率尺連接各發生線端點成為樣條曲線；三是拿硬紙板制成的標準齒條，在紙上沿直線推動，每推動一小段距離就轉動圖紙一個小角度（距離和角度要符合純滾動的幾何關系）并描出齒條的齒廓，描畫多次后便是利用范成法包絡出了齒輪的齒形。不過不管哪種都相當考驗操作就是了。

齒輪的繪制講到這就先告一段落了，如果還有其他內容想了解可以回復樓主，有時間就針對性地開貼討論。

shentu

數學功力太強。。。。。。我基本看不太懂。

DaedraMech

shentu 發表于 2024-8-27 22:41
數學功力太強。。。。。。我基本看不太懂。

大部分其實都是三角函數，老哥對照著示意圖推導一定沒問題的（抱拳）

Lixinwu

真正的工程師決不會糾結在具體的畫這種圖上，耗時間，廢腦筋，現在SW的齒輪插件太多了，何必將寶貴的時間花在這上面?

FKUEDEJXSQ2

666

littlecan

Lixinwu 發表于 2024-8-28 05:39
真正的工程師決不會糾結在具體的畫這種圖上，耗時間，廢腦筋，現在SW的齒輪插件太多了，何必將寶貴的時間花 ...

一，有時候插件亂碼，生成不出來
二，有的插件是點源連線的擬合曲線，不是真正的理論齒闊，對于仿真 測繪對比都不精確
三，DIN標準的漸開線花鍵齒，我找了幾個插件生成不了，只能是手畫

來自何方

littlecan 發表于 2024-8-28 08:43
一，有時候插件亂碼，生成不出來
二，有的插件是點源連線的擬合曲線，不是真正的理論齒闊，對于仿真 測 ...

就是geartrax也不行嗎

盧Tiger

在CAD中生成一個輪廓，到3D成型就可以了，簡單方便

littlecan

好帖啊！當初搞DIN5480的 帶變位系數的漸開線花鍵，半年沒有琢磨透參數方程該怎么搞。
最后是 從變位原理，直接徑向平移的齒廓線xm，我理解這齒闊還是原來的那一段，
只是在不同的變位系數下，漸開線的截取部位不同罷了，
樓主這里是這么理解變位的，我抽空再看看。

littlecan

來自何方 發表于 2024-8-28 08:46
就是geartrax也不行嗎

你可以試試，不同軟件生成的齒廓線 有不一樣的。尤其是帶變位系數的。