請教一四點支撐平臺各支點承重量計算的問題

easylife

如下面的俯視圖，
$ [) D/ C- b# V4 d1 {
平臺為一剛性水平臺，由彈性支撐件P1,P2,P3,P4支撐。工作臺重心為圖中W點。總質量為W.
幾何尺寸如圖中所示.
! H& [# W! ^4 D. H8 }5 F$ C請問怎樣計算各個支撐件P1,P2,P3,P4的受力大小？
, y* M0 I0 _5 n3 l

李贛

1、受力
9 B# O/ n/ W$ [4 a: n9 Z4 i2、力矩
9 t+ A) W5 ]% e9 B5 ^8 y( a平衡

easylife

1、受力
0 @+ }' X% u, r' s% A( q2、力矩
; b2 e; p% O1 t* B' ~8 U% P4 D5 I平衡
& c, i' o3 M+ O) U9 R1 c. Ulit_hiker 發表于 2009-9-28 15:51

不知道怎么建立力矩平衡方程，能詳細講下么？
謝謝

小白菜

可以先把同一側的兩點當成一點，算出來后再把合成一點的兩點的力再算一次，高中的同向平行力。

李贛

把旋轉軸設定在兩個支點上，這兩點的力的力臂為零。

草原蒙狼

樓主需要補補課  上述用平面匯交力系可解  授人與魚不如授人與漁
3 Q! {9 p& {0 c3 b1 `
請看下面  力學教材

2.1 平面匯交力系

% \( `1 s1 z  Z平面匯交力系的工程實例：

4 @7 N. K: M1 w: G
6 T7 P+ Z0 N$ N  e! U0 H: ]0 G
2.1.1 力的分解

按照平行四邊形法則，兩個共作用點的力，可以合成為一個合力，解是唯一的；
, S8 H3 ^9 R4 I
# N+ a% z2 Z) ]但反過來，要將一個已知力分解為兩個力，如無足夠的條件限制，其解將是不定的。
0 G/ A' y3 F* t6 k$ f
2.1.2 力在坐標軸上的投影




+ B" V3 i7 u5 n5 a# J- N' O7 p注意:力的投影是代數量，它的正負規定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負值。
' A& L* d& G" N9 Z

  V  x+ ^; L. Q9 R$ M  K  Z! J
+ D. ?1 f  b8 @# @! ?% ]: d- e2.1.3合力投影定理

1 P, w- J9 t' t# N' `" \
: Q0 {& v3 X$ k  X+ c8 }
: _; l% a2 P4 }2 \
3 w% |& r" F6 D
: J! T5 u: G! |" V0 U0 Z9 x

1 t. g% @; y% N* B0 Y& I0 u. J

合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數和。
. q+ {3 h: e* ^- M
8 b- \$ s& n! }  e4 i. E' o9 v2.1.4 平面匯交力系的平衡條件

平面匯交力系可以合成為一個合力，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即
, k  D: q( Q3 g- M* \. ?& B" d
: m) a* E% ?1 S; X9 p

3 H2 F0 Q& C2 J# }+ P1 e7 \即
: A# T( S! C! U8 `' I+ Y) U

8 s' I+ w; X2 J2 w1 g1 \  ]

5 \0 g# T$ M% C9 p) A力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上投影的代數和都等于零。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。

% g9 X' O4 `" d" A例2-1 如圖所示為一吊環受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大小）

' q4 F6 a! u" u5 z! K
+ s1 Q# ^( r" x' }' X
例2-2 圖示為一簡易起重機裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計，各處接觸都為光滑。試求當重物被勻速提升時，桿AB、AC所受的力。
; w' f/ N: M* D; ~; K+ ]: z6 U
! \7 A3 w6 u( _: G! R4 F( C2 w) T8 b% Q
* O# \" J6 e0 D# K4 p
解 因為桿AB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并以其中心為原點建立直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
8 b; u) Y- ?" m$ j! F; {" D0 r


解靜力學平衡問題的一般方法和步驟：
. B, ^" n* v) {) n/ q
# ]; p+ F2 w% ?* I$ V: t6 P1.選擇研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關系，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；

1 m4 \+ \. o' z/ k: U2.畫受力圖 根據研究對象所受外部載荷、約束及其性質，對研究對象進行受力分析并得出它的受力圖。
5 _: o+ H- ]4 g, P5 L( T) ]2 s
0 `3 c* P" K3 {& O) v3.建立坐標系，根據平衡條件列平衡方程 在建立坐標系時，最好有一軸與一個未知力垂直。
! R; u' r$ [- a) j- Z
在根據平衡條件列平衡方程時，要注意各力投影的正負號。如果計算結果中出現負號時，說明原假設方向與實際受力方向相反。

2.2 力矩與平面力偶系
- p" s1 H0 z- g# j
2.2.1 力對點之矩?(簡稱為力矩)

1 e; {& `8 a" |$ K8 T9 _2 v' |9 A1.力對點之矩的概念
7 L/ r9 n  X6 r, W( J; ]  O
為了描述力對剛體運動的轉動效應，引入力對點之矩的概念。


. L; s; J3 U( ?4 C% R# G7 i$ a
* t! k5 d1 v0 G力對點之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd
. r! C3 u2 t- b) b) q: y
一般地，設平面上作用一力F，在平面內任取一點O——矩心，O點到力作用線的垂直距離d稱為力臂。

5 V9 `, X. w% Z( Q, z1 X# G2 d' |

Mo( F ) = ± 2△OAB

力對點之矩是一代數量，式中的正負號用來表明力矩的轉動方向。

矩心不同，力矩不同。

規定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉動時，力矩取正號；反之，取負號。
; j% D2 ^# x$ I& U0 x% _8 I5 Y4 c
) Y3 }8 b( r! E0 i. s; b- T- h力矩的單位是Nmm。
% x. j) m- |3 L( E
由力矩的定義可知：

（1）若將力F沿其作用線移動，則因為力的大小、方向和力臂都沒有改變，所以不會改變該力對某一矩心的力矩。
: q* u# w5 H6 _+ {0 q: p
（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，則d=0，即力F通過O點。

5 y3 x* f/ n! y力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。

2.合力矩定理

0 Z3 g9 [) ^- i5 j設在物體上A點作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。
2 c7 _! W6 L3 S; i


1 W- c6 m5 _: a+ ^" S! H計算力系中各力對平面內任一點O的矩，令OA=l，則

Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
; h# V: n; n( ^1 h& Z
Mo(F2)=F2yl
9 u, R: O5 H4 A/ _9 ~- C
8 \1 |6 X, s* W# k& iMo(Fn)=Fnyl
3 X1 ~' ~% K3 b0 h2 p
由上圖可以看出，合力F對O點的矩為
( Q. g* g/ f4 Y9 h- b/ d' }- q7 ?
/ W# C: q, W: O5 r, T$ z7 B& ?Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
5 x9 i0 [" l! Q+ f  F
9 M5 c4 N. b: |) D, g據合力投影定理，有
8 }( [4 P4 ]* Z+ m' Z2 b+ S
. O" a7 S7 ]( O4 xFy=F1y+F2y+---+Fny

Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
* I; Z, P% F9 p3 |; Z: X
即

  b9 Q! w' z  q2 S+ a# {3 oMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

  A% g) _3 F! ~" `$ b- t
# k) [3 e+ ~2 _3 v6 F
" g3 l* t' e) X& z' E7 a合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內任意一點之矩，等于其所有分力對同一點的力矩的代數和。
8 x# c/ ~8 G9 c4 n. y: p
& Q9 U3 n" t6 g/ o3.力對點之矩的求法(力矩的求法)

# _5 Y8 E7 h: N. r* B: a（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。

7 v4 U1 f# v/ ^6 v% U0 A注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?

: \9 A0 f0 T* B6 x, a（2）運用合力矩定理求力矩。力分解

, u! Z. A0 w9 |! I, I例2-3 如圖所示，構件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點的力矩。

! j4 v# i4 x6 ?8 A( `

解 （1）利用力矩的定義進行求解



3 R6 s6 l* m  x0 }" M5 k- j4 S如圖，過點O作出力F作用線的垂線，與其交于a點,則力臂d即為線段oa 。再過B點作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點，則有
' }' X- u" D+ _! q0 U1 `) u  E, H


3 Q6 o0 i6 I- O  d（2）利用合力矩定理求解

/ B2 M0 j7 \$ L將力F分解成一對正交的分力
/ J! W9 r+ e1 q6 \# L- G
8 C2 ]! U3 \; M
5 p7 I$ ]  E; M, q) l
7 I5 V3 D' C9 w) `% @力F的力矩就是這兩個分力對點O的力矩的代數。即

8 ?# H9 y( e& ^7 [( z# NMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
: b7 Q) S# B) F5 E
# Z2 L) u5 {( h& C5 G: j) Y( k0 v2.2.2力偶及其性質
- f2 ]0 P2 _; ]# v9 q% H/ {2 |
1.力偶的定義

在工程實踐中常見物體受兩個大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產生轉動。例如，用手擰水龍頭、轉動方向盤等。
$ h3 s3 {" J1 H- ]4 F- s
9 [; t8 @6 v$ w$ V
, f: ^% X$ s6 x& m7 C& [7 W
力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構成一力偶。記作(F，F')
' b9 C3 g' c% I5 w
力偶作用面——兩個力所在的平面
# U0 J) A7 N7 V" v" A7 o1 Y
力偶臂——兩個力作用線之間的垂直距離d
+ R2 P: W. N* i
力偶的轉向——力偶使物體轉動的方向

) G, m. B- ~4 x) `力偶只能使物體轉動或改變轉動狀態。怎樣度量？
) V) q1 @) g' t
5 Y8 S, I6 q6 o2 I. X力使物體轉動的效應，用力對點的矩度量。
$ A5 S- M2 [8 H$ ^+ X' G- U/ ~
設物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F')，該力偶對任一點O的矩為


) m8 H* V6 U9 M6 C/ F* u- h
Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
( \/ \4 `9 p( ^1 x% B. k1 t. p
由于點O是任意選取的，故力偶對作用面內任一點的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關）

力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
$ p, q2 y3 s2 W* d! v+ `
$ v+ Z: t5 H, A- ~+ dM(F,F')=±Fd 規定：力偶逆時針轉向時，力偶矩為正，反之為負。
. O, G( x1 M8 q
力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數量。
5 o/ i9 H& y+ m
Mo(F) = ± Fd

* a6 h$ K; b8 W3 G0 b( _7 k+ e力偶的三要素——大小、轉向和作用平面
$ z: g  `% e* Q( P: C/ y* G
2.力偶的性質

（1）力偶無合力。
* f# q4 ^' E' T
: Y/ j6 H& }0 X8 P7 @5 [6 ?4 X力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡。
" N2 c! n* K  ~( F5 c0 P
- ~6 M4 F9 J" Q, v) a& S# O. |可以將力和力偶看成組成力系的兩個基本物理量。

6 l' a" y& C( Q% f9 F0 [（2）力偶對其作用平面內任一點的力矩，恒等于其力偶矩。

. _8 L' H: P8 n（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉向相同，則這兩個力偶是等效的。
; }8 X" p4 {8 u/ l
力偶的等效條件：

3 @3 P7 h( Q6 @1）力偶可以在其作用面內任意移轉而不改變它對物體的作用。即力偶對物體的作用與它在作用面內的位置無關。
2 ^9 n$ d1 y: _* ?* V% U
2）只要保持力偶矩不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對物體的作用。
/ g0 H6 q9 G, I1 M% J! J! J
2.2.3平面力偶系的合成與平衡
) L- _, F8 o/ D; @5 L/ J
8 X$ Z" o% o4 O2 ~9 h7 A: a平面力偶系——作用在剛體上同一平面內的多個力偶。
$ q, S3 L5 t% b+ F0 k
. G+ ?. F, m; P- I8 y4 W' Y1.平面力偶系的合成
9 S& v5 m3 v( p& z6 `
* a2 z5 r) q& F! I! u% O- [' o例 兩個力偶的合成

- i. k% a4 D7 B) `' G! y
M=M1+M2+---+Mn
& Q7 j; h8 `5 K# y

5 r; H! i* E) @————力偶矩等于各分力偶矩的代數和

2 t9 ^( V( o- E* L. [2.平面力偶系的平衡

. j. T$ B5 k7 c' U# e: o平面力偶系合成的結果為一個合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，

9 k4 ?3 Q& w; d1 @; p7 ]例2-4 梁AB 受一主動力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ，梁的自重不計，求兩支座的約束反力。



解 （1）以梁為研究對象，進行受力分析并畫出受力圖

. m' A7 o- G9 Z8 \1 V7 A1 I) k' f+ EFA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。
9 _3 u8 H0 z" S* q
（2）列平衡方程

   

2.3 平面一般力系
; X! W: {$ M! H
平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內，既不相交于一點又不完全平行。
! l. B- [1 t1 H2 v

$ A7 Z. S; G3 f: C& K
, z4 i% w! M4 b5 V% X上圖起重機橫梁AB受平面一般力系的作用
% m& J3 J. o8 R! q' Q
2.3.1平面一般力系的簡化
- U2 \, v$ ~* |- o( t8 g$ Q
1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內移動，而不改變其對剛體的作用效應。
0 T2 i) Z# u9 N+ E( H% p
+ u" w2 t2 a6 w4 `, {5 _3 `8 k問題：如果將力平移到剛體內另一位置？

9 b, V: B7 M3 R3 e! b0 V; k將作用在剛體上A點的力F平移動到剛體內任意一點O，
6 ^4 t/ P; [) j: z/ K' D  [3 d
0 G2 J( b5 {- Q, A
* O9 l" H" s1 N3 _9 N' I# n; A7 f
# X# w* m2 Y7 `0 H* @) {附加力偶，其力偶矩為
7 a4 n+ r) ^- s2 J$ R9 \
M(F,F'')=±Fd=Mo(F)

7 [4 }5 J8 s6 N$ r; S" _! N上式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點的力矩。

/ p8 ]9 ~8 n; i- Q- ?/ l于是，在作用于剛體上平移點的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應就與力F作用在A點時等效。

9 W% G5 O4 O0 C' U/ Z  h/ r力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。
/ T$ T5 F3 g! R4 G( Q  p
# z5 c, J1 T: H; d3 F6 |- L根據力的平移定理，可以將力分解為一個力和一個力偶；也可以將一個力和一個力偶合成為一個力。

. t- b. u; _" a
* Z' E7 E3 G4 v6 ^- W0 c0 v2.平面一般力系向平面內任意一點的簡化
1 ~& d0 D& a$ c; Q" Q0 z4 s4 B
2 }' i" S7 c* K* x. C
0 |0 {' ^" o; q1 ]0 O

α——主矢與x軸的夾角
9 v9 A, k, O3 s) D$ ^$ E
/ n6 T& i9 y% S  BMo——平面一般力系的主矩

主矩=各附加力偶矩的代數和。
% D$ q+ e7 Y4 y) g9 J- N
（由于每一個附加力偶矩等于原力對平移點的力矩，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數和，作用在力系所在的平面上。）
1 M; o% c& }2 h/ H
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

# _' @2 a; x/ I7 T6 q5 y( e6 x平面一般力系向平面內一點簡化，得到一個主矢 F'R 和一個主矩 Mo，
- h6 J6 B  I$ \. t; w, R
    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上。其大小和方向與簡化中心的選擇無關。
: S% F9 G# V0 q9 z+ }# X
- A( r8 G0 {% T0 `    主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數和，其值一般與簡化中心的選擇有關。

3. 簡化結果分析
5 }% j9 ~: h0 D- B% R( L
/ f) `2 L) Y+ R& T3 ~    平面一般力系向平面內任一點簡化，得到一個主矢 F' R 和一個主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結果，如果進一步分析簡化結果，則有下列情況：
2 b+ m; y3 b+ b8 |9 E- r- ~
F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

- d( ~; C$ C. E# ^7 KF'R ≠0, M o ≠0
! X5 G' C4 n" V
' D% l( e& E- ^+ k2 `F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

9 ]4 P- i( a2 D* f' ]  c1.平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的必要與充分條件為：



  

2 L8 [9 L; m( [2 g2.平面平行力系的平衡條件
2 D7 h2 u) v% i' ~
平面平行力系的平衡方程為


4 y* j/ M$ t0 R
平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，因此只能求出兩個未知量。

例2-6 塔式起重機的結構簡圖如圖所示。設機架重力 G =500kN ，重心在C點，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機在滿載與空載時都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。
5 i# E5 R4 T) _% x& q: E( p
" B  z% e0 C' L4 B' f  F9 w
+ b  c) n& N& G. r. ^
0 C6 n/ [3 I- U. r) @解：取起重機為研究對象。
! ~) H8 g/ t; V& F
5 P. N4 c, ?1 [& I6 L0 ^9 Z是一平面平行力系

  W! F  Z* i; I  ?* _' b  a/ B" ?3.物體系統的平衡條件

8 C, l. ^( c5 c9 F" h0 E$ w物系——由多個構件通過一定的約束組成的系統。

1 C& d% ]; ?' q/ N& c    若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構件也處于平衡。因此在求解有關物系的平衡問題時，既可以以整個系統為研究對象，也可以取單個構件為研究對象。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個獨立的平衡方程。3n
2 v+ M1 P9 v* `0 b
$ G2 q" X8 A8 m8 l  ]物系外力——系統外部物體對系統的作用力

物系內力——系統內部各構件之間的相互作用力
- {1 }, u. V: v8 i
物系的外力和內力只是一個相對的概念，它們之間沒有嚴格的區別。當研究整個系統平衡時，由于其內力總是成對出現、相互抵消，因此可以不予考慮。當研究系統中某一構件或部分構件的平衡問題時，系統內其它構件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮。

草原蒙狼

上面沒有高級回復，所以不顯示圖形，請管理員刪除。看下面

2.1 平面匯交力系

平面匯交力系的工程實例：

6 w5 F# ?2 U7 c* G, v2.1.1 力的分解
- j' ^2 P1 w. r- B$ w按照平行四邊形法則，兩個共作用點的力，可以合成為一個合力，解是唯一的；
但反過來，要將一個已知力分解為兩個力，如無足夠的條件限制，其解將是不定的。
0 I$ a" A' e/ ]* g- T5 K: F, k2.1.2 力在坐標軸上的投影

注意:力的投影是代數量，它的正負規定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負值。

5 t' C  G' e" M! x* l, U* T3 w2.1.3合力投影定理

7 L$ W5 C' {- o6 G3 X# r/ Z

' @7 J5 n( G- U8 B9 q6 D0 I! n, k合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數和。
; ^) i% D) `; ?+ S* S5 F$ v2.1.4 平面匯交力系的平衡條件
/ P6 Q- L6 u1 i5 ]$ ^平面匯交力系可以合成為一個合力，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即
4 T# r! ]& W5 j5 ]

即

: ^8 Z2 v* U9 f: i) r. {力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上投影的代數和都等于零。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。
例2-1 如圖所示為一吊環受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大小）

例2-2 圖示為一簡易起重機裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計，各處接觸都為光滑。試求當重物被勻速提升時，桿AB、AC所受的力。

' V- K* i* x8 O解 因為桿AB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并以其中心為原點建立直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有

, e5 x" K9 y2 g3 G解靜力學平衡問題的一般方法和步驟：
1.選擇研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關系，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；
: I! J  t$ i+ U. ]" S. x0 D2.畫受力圖 根據研究對象所受外部載荷、約束及其性質，對研究對象進行受力分析并得出它的受力圖。
3.建立坐標系，根據平衡條件列平衡方程 在建立坐標系時，最好有一軸與一個未知力垂直。
9 S: K3 ]/ H) M! J$ f$ s; H) z在根據平衡條件列平衡方程時，要注意各力投影的正負號。如果計算結果中出現負號時，說明原假設方向與實際受力方向相反。

2.2 力矩與平面力偶系

2.2.1 力對點之矩?(簡稱為力矩)

1.力對點之矩的概念

為了描述力對剛體運動的轉動效應，引入力對點之矩的概念。

; {2 m0 y+ R2 s# t0 q) p) L% e& r" N力對點之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd
5 H, p* B9 D, X+ J7 ?9 Q0 A) P一般地，設平面上作用一力F，在平面內任取一點O——矩心，O點到力作用線的垂直距離d稱為力臂。
: |! G( P/ x# [5 @
Mo( F ) = ± 2△OAB
力對點之矩是一代數量，式中的正負號用來表明力矩的轉動方向。
矩心不同，力矩不同。
規定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉動時，力矩取正號；反之，取負號。
. G* l9 ^" C( A" D2 Y力矩的單位是Nmm。
由力矩的定義可知：
（1）若將力F沿其作用線移動，則因為力的大小、方向和力臂都沒有改變，所以不會改變該力對某一矩心的力矩。
( B" Y6 C; A- v5 h6 k8 j+ ~（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，則d=0，即力F通過O點。
: n) `# U  |# |1 K" T力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。
! [% b& Z0 D# k2 U$ m2.合力矩定理
) a' ?* j! j' v  i- k4 d設在物體上A點作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。
2 h! D% }$ W$ D6 D4 S
$ f1 x& M0 B* X計算力系中各力對平面內任一點O的矩，令OA=l，則
- t; L) x+ W) h1 bMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
Mo(F2)=F2yl
Mo(Fn)=Fnyl
. T1 W  L1 {# M由上圖可以看出，合力F對O點的矩為
3 f& S8 D! G! x# E5 gMo(F)=Fd=Flsina=Fyl
據合力投影定理，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
) ]9 N" U6 O* ?  |即
  H! y. ]+ z- M8 ~, B! r3 M; uMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

0 N# _. d  s3 Y合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內任意一點之矩，等于其所有分力對同一點的力矩的代數和。
2 ], r7 a3 z  A; H$ k3.力對點之矩的求法(力矩的求法)
& ~  H' g* J9 t6 W% \) a" o（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。
0 k& Y- [0 ~: A& y( u' j注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?
（2）運用合力矩定理求力矩。力分解
例2-3 如圖所示，構件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點的力矩。

) j! G; v* M- r- q6 O2 P0 p解 （1）利用力矩的定義進行求解
1 W6 Y$ S/ @' r. e+ @  s
; y7 E( L  d) j3 u/ y8 K如圖，過點O作出力F作用線的垂線，與其交于a點,則力臂d即為線段oa 。再過B點作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點，則有
7 G% t: p* P5 o" w4 u( U7 L. v  l
) N8 q2 q& r2 T; D3 n（2）利用合力矩定理求解
1 {' f* ^1 h- N" \) ^將力F分解成一對正交的分力
% {' E5 R6 I# a
力F的力矩就是這兩個分力對點O的力矩的代數。即
0 A; {9 x& q4 b" |8 Z* j2 p$ FMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
: k+ r- W& d1 P+ O2.2.2力偶及其性質
1.力偶的定義
在工程實踐中常見物體受兩個大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產生轉動。例如，用手擰水龍頭、轉動方向盤等。
6 V% E! _/ x" N$ E
8 ~- t# G( q7 c/ i0 a  E力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構成一力偶。記作(F，F')
力偶作用面——兩個力所在的平面
力偶臂——兩個力作用線之間的垂直距離d
力偶的轉向——力偶使物體轉動的方向
力偶只能使物體轉動或改變轉動狀態。怎樣度量？
) K1 O" Z$ }& D+ K力使物體轉動的效應，用力對點的矩度量。
$ l+ {  o7 x4 m1 x2 L設物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F')，該力偶對任一點O的矩為

. Y, x; Y- Q! e' ^' n8 _$ wMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于點O是任意選取的，故力偶對作用面內任一點的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關）
8 S/ @7 l) |* V力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
3 q& O: d4 Q$ |  H2 X$ D0 L$ q! SM(F,F')=±Fd 規定：力偶逆時針轉向時，力偶矩為正，反之為負。
力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數量。
Mo(F) = ± Fd
( g' W# s& N* V7 s力偶的三要素——大小、轉向和作用平面
2.力偶的性質
（1）力偶無合力。
力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡。
可以將力和力偶看成組成力系的兩個基本物理量。
$ e7 B5 M' w2 Y. B' }（2）力偶對其作用平面內任一點的力矩，恒等于其力偶矩。
" v+ @2 z; }* _+ x（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉向相同，則這兩個力偶是等效的。
力偶的等效條件：
; ?0 V: z9 a% p) q4 H, d- f- Z$ u1）力偶可以在其作用面內任意移轉而不改變它對物體的作用。即力偶對物體的作用與它在作用面內的位置無關。
8 r9 Z: D# l+ u2）只要保持力偶矩不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對物體的作用。
+ E% B$ p5 L5 o; i2.2.3平面力偶系的合成與平衡
平面力偶系——作用在剛體上同一平面內的多個力偶。
' w( d; z' C. ]2 i9 P- P1.平面力偶系的合成
例 兩個力偶的合成
  T0 @8 ?. o. s$ S/ h

M=M1+M2+---+Mn

, V( i2 x, |' K7 m- ]) D& d; w————力偶矩等于各分力偶矩的代數和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
平面力偶系合成的結果為一個合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，
$ M& y  |' ^: Y" l例2-4 梁AB 受一主動力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ，梁的自重不計，求兩支座的約束反力。
  l. ?; U3 m& {2 t# x
解 （1）以梁為研究對象，進行受力分析并畫出受力圖
FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。
（2）列平衡方程

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內，既不相交于一點又不完全平行。
" P7 v: H8 g6 m: W( N# J
4 O) G: A* u8 l) s上圖起重機橫梁AB受平面一般力系的作用
2.3.1平面一般力系的簡化
1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內移動，而不改變其對剛體的作用效應。
問題：如果將力平移到剛體內另一位置？
- h9 A5 C" b/ Z/ e將作用在剛體上A點的力F平移動到剛體內任意一點O，

% Z8 j4 V% ~( q附加力偶，其力偶矩為
( `! I! r5 I/ M5 r+ QM(F,F'')=±Fd=Mo(F)
4 J( b" o  A+ W% o2 z; O7 P% s- `上式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點的力矩。
于是，在作用于剛體上平移點的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應就與力F作用在A點時等效。
力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。
根據力的平移定理，可以將力分解為一個力和一個力偶；也可以將一個力和一個力偶合成為一個力。

2.平面一般力系向平面內任意一點的簡化
9 x( v7 l5 }& \! I4 M' y2 l
α——主矢與x軸的夾角
: b# l8 e) K9 _* pMo——平面一般力系的主矩
主矩=各附加力偶矩的代數和。
（由于每一個附加力偶矩等于原力對平移點的力矩，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數和，作用在力系所在的平面上。）
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
平面一般力系向平面內一點簡化，得到一個主矢 F'R 和一個主矩 Mo，

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上。其大小和方向與簡化中心的選擇無關。

    主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數和，其值一般與簡化中心的選擇有關。

3. 簡化結果分析

    平面一般力系向平面內任一點簡化，得到一個主矢 F' R 和一個主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結果，如果進一步分析簡化結果，則有下列情況：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的必要與充分條件為：

( u* U+ U  Q4 _) j$ E$ H
+ U1 Q6 l& o$ R! W* P2.平面平行力系的平衡條件
# Y1 q; l- s% N/ X* I平面平行力系的平衡方程為
- O$ i: }- n* p. F. G
2 j- f4 z: x6 q) C

平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，因此只能求出兩個未知量。

例2-6 塔式起重機的結構簡圖如圖所示。設機架重力 G =500kN ，重心在C點，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機在滿載與空載時都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。

解：取起重機為研究對象。
/ s! i5 \( @- v是一平面平行力系

3.物體系統的平衡條件

物系——由多個構件通過一定的約束組成的系統。

    若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構件也處于平衡。因此在求解有關物系的平衡問題時，既可以以整個系統為研究對象，也可以取單個構件為研究對象。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個獨立的平衡方程。3n

物系外力——系統外部物體對系統的作用力

物系內力——系統內部各構件之間的相互作用力

物系的外力和內力只是一個相對的概念，它們之間沒有嚴格的區別。當研究整個系統平衡時，由于其內力總是成對出現、相互抵消，因此可以不予考慮。當研究系統中某一構件或部分構件的平衡問題時，系統內其它構件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮。

無能

依圖為空間平行力系，其平衡條件是：
P1+P2+P3+P4=W
* A# g$ q% T* xWB=(P2+P4)A
WD=(P1+P2)C
& K- J7 m$ ^2 n( H3個平衡方程，4個未知量，此為一次靜不定結構，必須得知各個桿件的E，補個變形協調方程，方可求解。
1 x+ h; _8 q; C6 w對鋼而言，因為其彈模E高達200Gpa，在靜不定的情況下，某一構件長或短若干微米，受力情況就面目全非（比如Φ50X4長100的鋼管，其彈變10微米，外力變動就達1噸多，不可謂不大）。所以此題若將支撐改為3個，即變身為靜定結構，求解就易如反掌了。

w9049237

8# 草原蒙狼
7 R" Q6 l/ J5 t7 H1 {佩服.......無言!!