球面漸開線方程的理解

YPFENG

樓主我們并沒有懷疑你的公式的正確與否,我們只是不知道你是如何如何推導出上面的公式,你能給我們上傳點資料我們理解了,當然我們就知道怎么用了,問題是不知道如何推導出這個公式

阿松

請懷疑我公式的正確性！
# D) x/ E, _, H7 R( o* y小男孩，我在6樓已經答復過你在5樓提出的同樣的問題。
5 b6 ?8 {" G% X! W/ b0 H+ V

YPFENG

原理我也知道但是不知道具體是怎么推導的,要是能有一本書詳細介紹一下那就太好了

阿松

那我給你一些提示：
0 Q/ G# g, q: W6 {大圓就是球的最大直徑，基圓是球上任一比大圓小的圓。
請想一下兩圓相切：可以想象基圓水平，大圓傾斜并與基圓相切。
# M) N. J9 I) e# x+ i& @然后基圓不動，大圓滾動。有點象呼啦圈掉到地上時的樣子。
然后在某一個位子，大圓上滾過的弧長等于基圓上的弧長。
) l9 Z3 I- B4 Z& D6 k+ {  p7 e6 [+ U然后構建幾何圖形。
然后進行一步一步推導。

我就是這樣推出來的。相信你也能推出來，可能公式比我還要簡化。

logxing

我正在驗證松版的公式
有一個疑問
& S1 q5 R: z- O" `$ R按照這個極坐標系，當R趨向無限大時，也就是普通漸開線時
% g3 ~) C7 f( s9 n6 l6 D方程將會變成什么樣子？好像不能自然退化成普通漸開線的參數方程
松版有沒有其他坐標系的結果？

阿松

當R為無窮大是，eta為pi/2，
; `6 v( t' I0 ^alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中
tan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均為0,運用羅比塔法則，分子和分母分別求導，得alpha=atan(theta)
9 c" C: [: e; W4 f5 p4 Uomega得0，delta=theta-atan(theta)，這是標準的平面漸開線函數。

logxing

我主要是看見了你說
極坐標方程＝R,delta,omega
$ m) B. g% ]/ t7 a那么當R趨向無窮大，不論delta,omega變成什么
, f# y8 F; t# L; q5 H- Q& @9 t矢徑長度都會變成無窮大，也就是不能變成普通漸開線
& ]1 ?& O) ^+ _# L$ e3 L8 G你的極坐標矢徑長度是R，說明你的極坐標原點是大圓圓心，所以會出現這個問題
) \3 ]$ D" s* g; u3 c7 s7 F( ~是不是我的理解有誤？

! u5 c1 B/ \2 z我正在試著用矩陣推導，而且是直角坐標系，因為我將來要用程序來驗證
直角坐標系方便些，出來結果我會貼出來

阿松

直角坐標方程如下：（還沒有化簡，要變成平面漸開線方程的話，坐標原點要延z軸下移R)

logxing

為了方便敘述，我先定義三個點，在初始狀態小圓，大圓和一條直線相切于一點，該點在小圓，大圓和直線上分別對應A1,A2,A3三點，也就是說初始狀態三點是重合的。然后大圓開始轉動，小圓上的A1是固定的，A2的軌跡就是我們想要的球面漸開線，至于A3，是起著重要的聯系作用。
4 u* d$ g8 q9 Z, [1 a
3 C1 \, E4 ^8 D) P8 k在1樓中
eta=acos(r/R)
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))
9 F; B9 |, V, Z7 G1 E也就是
( m+ V2 s3 A  w: C: _5 valpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))
/ p9 E  a, C# W; T1 m" P0 d& a即
  V! F2 m1 V4 ~- L. N8 yalpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)
alpha是小圓平面內A3點的壓力角，所以我想你是把tan(r/R*theta)*R當成那段切線段長了（法線長）才會有上面的式子。
考慮這段切線段在大圓平面上的情形，你是把r/R*theta當作大圓平面內A3的壓力角了，才會有上面的式子。
這里的theta是小圓平面上A3點的展開角，所以r/R*theta實際上是大圓平面內A3的展開角而不是壓力角，這個地方錯了。
6 c% a, {) _- C5 m0 ]! @不知道我對alpha，theta的定義理解是否有誤。
! @% h) [; v7 H6 N我已經推導了直角坐標系的方程，是以小圓平面為xy平面，小圓圓心為坐標中心的右手系。還沒有驗證，不過可以自然退化到平面漸開線方程。因為與你18樓的形式差別比較大，還沒有證明是不是等效的。下面我打算做個程序驗證一下，然后再拿上來大家討論。

阿松

首先非常高興你能夠和我一起花時間來考慮這個問題。謝謝
我不明白A1,A2,A3如何相對運動，初始位置3點重合，然后是不是阿A3保持為切點？

我來說說我的思路：theta是小園的展開角，然后通過它算大圓的展開角。（我的資料沒在身邊）alpha 可能是大園的展開角。然后通過它們算矢徑與各平面的夾角。
$ Z* S" \7 A! ?
如果你能通過CAD軟件驗證你的公式的話，我們的公式應該是相同的。至少可以轉化成相同的。