關(guān)于極限和連續(xù)的兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題

螺旋線

還是不要討論這種問(wèn)題吧。
數(shù)學(xué)這東西，學(xué)不來(lái)，知道結(jié)果和懂是兩回事。
7 ^7 i7 {. {% s作為工程師，需要的就是知道。

未完不續(xù)

3 B3 N3 B; I+ {1 z1 B- W! r
第一個(gè)問(wèn)題：要想蛙跳不出去，前提條件是井要足夠深，大于等于蛙單次跳躍高度的2倍。
第二個(gè)問(wèn)題：以A點(diǎn)為原點(diǎn)
; ~- O; {! ^4 _# E8 b
) o0 a2 d/ Y3 }1 iT1=    B1/Va
% V% ?& @+ e" b7 P* R( E) b


T2=    (B2-B1)/Va   =   Vg*T1/Va    =   Vg*B1/Va^2


7 W4 H* f% d/ I: ^: I6 q% p& l
9 J# h: s$ U, v( Y/ _T3=    (B3-B2)/Va   =    Vg*T2/Va  =   Vg^2*B1/Va^3

……….
: w4 ?+ Q& F8 _
Tn=(Bn-Bn-1)/ Va  =     Vg^(n-1)*B1/Va^n     =     B1 * ( Vg/Va)^n/ Vg
' V. w( M6 {2 Q3 P
0 }6 d7 f$ Y/ R/ G1 N- m1 X6 C3 {       當(dāng)Vg/Va<1時(shí)，( Vg/Va)^n→0, Tn→0,說(shuō)明阿喀琉斯能追上烏龜。




, L: |- z; X/ C, {

風(fēng)追云

這兩個(gè)問(wèn)題是名副其實(shí)的“長(zhǎng)驅(qū)鬼魅”問(wèn)題。哈哈。

掃街

1除以0等于神馬

andyany

數(shù)學(xué)如果不和物理結(jié)合，就是奇技淫巧。

fmdd

第一個(gè)：無(wú)限等比數(shù)列求和Sn=a1/(1-q)
a1=1/2  q=1/2 Sn=1
2 m; W2 s, g3 B6 Q! @說(shuō)明青蛙是能跳出井的，只是在它有生之年沒(méi)法完成，拋棄理論不說(shuō)，從事實(shí)上來(lái)考慮，青蛙的前腳已經(jīng)出了井口，后腿雖然還在井里，它可以爬出去，不用再花無(wú)窮多的時(shí)間繼續(xù)跳了
3 U6 d( G& @" O8 g6 f% ]
& q" Z# |* h9 [! F第二個(gè)：這個(gè)是哲學(xué)上的詭辯，運(yùn)動(dòng)具有瞬時(shí)性，也具有連續(xù)性，哲學(xué)老師說(shuō)，任何運(yùn)動(dòng)方面的詭辯，都是割裂了運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)特征。在這個(gè)題目里，運(yùn)動(dòng)只表現(xiàn)出瞬時(shí)性，所有的分析點(diǎn)都是一個(gè)片段。這個(gè)問(wèn)題需要有比物理學(xué)和數(shù)學(xué)更高層次的哲學(xué)理論來(lái)解釋，那些研究宇宙的本源、人生的意義的極端聰明的家伙，才能給你揭示出這個(gè)問(wèn)題背后的本質(zhì)。

鬼魅道長(zhǎng)

  R9 H4 N/ H8 N: r  Q這兩個(gè)問(wèn)題，必須計(jì)算“重心”，即沒(méi)有實(shí)體的點(diǎn)，不然，就會(huì)出現(xiàn)樓上說(shuō)的，前腿出井，后腿留在井里的事情。

, v( o8 b+ q6 q$ g9 Q可以先分別提出假設(shè)以建立數(shù)學(xué)模型：

1.青蛙第一次能跳到井的一半，而且1/2^n次跳的時(shí)候，所耗費(fèi)時(shí)間也是1/2^n秒，那么當(dāng)它跳到第n次的時(shí)候，與井口的距離差為1/2^n。
2.阿基琉斯時(shí)速為1m/s，烏龜為0.5m/s，兩者相隔1m，所以第一次經(jīng)過(guò)1s，距離差為1/2，第二次經(jīng)過(guò)1/2s，距離差為1/4，不斷往復(fù)，則第n次，距離差為1/2^n。
+ O& B! u& e& Z' _
- |, i9 y" j2 k9 B( ^9 I那么可以得出，兩個(gè)的距離數(shù)列是基本一樣的：即1、1/2、1/4、……、1/2^n。

- _0 v$ `4 @( f! D; H+ T7 o' g6 E但是得到的結(jié)論卻是兩個(gè)答案。

kongping

5 L) J( |) B% c$ \- L
$ t- ~3 [6 O$ B2 x% ~- K第一個(gè)問(wèn)題：先決條件是要看井口的高度和青蛙第一次跳躍的高度，青蛙有可能跳出或有可能跳不出。不能一概而論。
第二個(gè)問(wèn)題：先決條件是誰(shuí)的速度快，如果阿基琉斯的速度大于烏龜?shù)乃俣龋�那阿基琉斯一定�?huì)追上烏龜，只是時(shí)間問(wèn)題。如果速度小于或等于的話就不用說(shuō)了。

luyupei

第一個(gè)問(wèn)題是距離的極限，所以跳不上去。第二個(gè)問(wèn)題是時(shí)刻的極限，過(guò)了那個(gè)時(shí)刻就超過(guò)了。

鬼魅道長(zhǎng)

長(zhǎng)驅(qū)鬼魅 發(fā)表于 2011-4-21 09:52
這兩個(gè)問(wèn)題，必須計(jì)算“重心”，即沒(méi)有實(shí)體的點(diǎn)，不然，就會(huì)出現(xiàn)樓上說(shuō)的，前腿出井，后腿留在井里的事情。 ...

剛才打了一大段字，想不到網(wǎng)絡(luò)出問(wèn)題，一下變成未登錄狀態(tài)，辛苦白費(fèi)了……555
  q8 O: d) \# B- J3 D
* E* e: ]0 ?: F) ]* Y2 c6 j1 K. i: P0 m其實(shí)距離數(shù)列已經(jīng)說(shuō)明白了，是完全一樣的，之所以答案不同，是因?yàn)榭s短距離而花費(fèi)的時(shí)間的關(guān)系。

# U4 X* @: m2 c4 R' g  P# o1.青蛙第一次跳，花費(fèi)時(shí)間1/2s，由于中途會(huì)停歇1s，所以第二次花費(fèi)1+1/4s，第n次則為1+1/2^n s，那么花費(fèi)的時(shí)間數(shù)列為：

1/2、1+1/4、……、1+1/2^n，n無(wú)窮大，則消耗時(shí)間的總數(shù)也是無(wú)窮大，青蛙永遠(yuǎn)也跳不出去。
! m& }' N; k- H. v1 U" E4 a
2.第一次縮短距離，花費(fèi)時(shí)間1/2s，第二次花費(fèi)時(shí)間1/4s，第n次花費(fèi)時(shí)間1/2^n s，那么花費(fèi)的時(shí)間數(shù)列為：
. t8 N* i; n% p! Q
1/2、1/4、……、1/2^n，n無(wú)窮大，則消耗時(shí)間的總數(shù)是1s，根據(jù)前述假設(shè)，在速度為1s/m，相差距離為1m的情況下，在1s的花費(fèi)時(shí)間終結(jié)之時(shí)，阿基琉斯與烏龜就站在同一位置了，而下一個(gè)t時(shí)間，無(wú)論有多么小，由于速度上的優(yōu)勢(shì)，他必然會(huì)超過(guò)烏龜。
' M' H. O+ ~( O% ^& u
對(duì)比一下，就發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)列的差距就在“每次停歇1s”這個(gè)地方，換句話說(shuō)，如果阿基琉斯每次都要休息，那么他也永遠(yuǎn)追不上烏龜。
$ Q* h6 C+ j% x7 o+ {/ |, T

之所以想起來(lái)把這個(gè)問(wèn)題發(fā)上來(lái)，就是想說(shuō)一下昨天討論的結(jié)果，那就是，追趕別人是不能停的，如果天朝每次追趕米國(guó)都要停歇，那么，即使發(fā)展速度比人家快一倍，也將永遠(yuǎn)追不上。
1 O1 K. s4 K7 X$ u! a