關于極限和連續的兩個數學問題

鬼魅道長

今天一哥們聊天時說起，很有趣，大家也來試試：
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# M7 x: e+ g7 N+ n# ]0 s: v1.青蛙跳井：
. T7 d& M% f. a9 Y* O1 h& U   一個青蛙在井底，想要跳出去，假設永遠不會向下滑，它每次跳高的距離都是上一次的一半，而且每跳一次都要休息一秒鐘，那么青蛙能不能跳出井？

5 q+ T. o$ Q# J4 h( P/ H: m& b2.阿基琉斯追不上烏龜：
$ h1 B* u& @9 C) I  芝諾說，如果阿基琉斯落在烏龜后面，同時起動，那么會出現這樣的情況：假設初始時，阿基琉斯在A點，烏龜在B1點，經過了t1的時間，阿基琉斯到達了B1，但同樣的，烏龜用t1的時間到達了B2，而當阿基琉斯用t2的時間到達了B2時，烏龜又用t2的時間到達了B3，而阿基琉斯到達B3時，烏龜又到了B4，如此往復，那么阿基琉斯就永遠追不上烏龜。
9 [' K" s* R) W) j- v4 h

4 X' e) v9 r* ?+ P$ E( H0 Y對第一個問題，所有的人都說“永遠跳不出去”，而對第二個問題，則說“肯定追得上，因為事實就是這樣”。
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于是那哥們問，為什么兩個類似的問題，答案不一樣？數學依據是什么？
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+ X- `  r% F6 ]+ v, T$ L& O5 L最后大家還是用數學模型把這個事了了，不過過程實在很有趣，社友們也來試試吧。

閑人一個OO

第二個問題我上馬克思時老師拿來當例子講的，這個問題邏輯上很難搞定的

高進

這個問題我也想過，為什么呢追不上呢？我想是由于這個時間永遠不能過度到下一秒，越來越小

無能

! S# K" T4 {  Y3 ?; C
+ x& _8 q& C+ k. X  ?: P回復 長驅鬼魅 的帖子
$ V  p* \; f8 H- Y& \
, [" A: t% G$ U$ d, ^/ y1 T第一條敝人看錯了，答案請見下面有大俠給出。
; Z* [+ ?- u7 P! k7 J第二個問題本身就沒有描述清楚。一般來說，如果能把問題很清楚的描述出來，那么答案基本上就出來了。
5 j: ^/ {! c5 v4 _' V我認為，芝諾悖論是在描述上首先就把人弄糊涂了，如果換一種描述，就不會出現悖論，因為悖論首先就已經確定是錯誤的了，只是因為描述上弄了手法才讓人看似正確。
沒想到兄弟有雅興鉆研微積分的基礎問題，佩服！

1 H6 O* l1 f+ w  w7 w  Y( N

jsj306

0 B) v* b. Y! d* o
. S  z1 L, v% V1 ?  a% m6 x/ ^第二種情況僅僅是計算上趨于無窮，實際上阿克琉斯不會按芝諾的算法來跑，一步兩步就跨出去了，芝諾的算法僅僅是對這一步兩步（或者這一步兩步所用的時間）做細分，這就涉及到距離或時間是否無限可分的問題了
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第一種情況就是按芝諾的算法來跑了，他算一步，青蛙就跳一步，按他這個算法永遠算不完，那青蛙也就永遠跳不出去

螺旋線

那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢？
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無能

回復 jsj306 的帖子
4 O1 A) A5 D  S3 }; f9 d7 Z* ]
這是“潛無窮”論者與“實無窮”論者的爭論。
8 k- E1 ?3 \; w  E, |潛無窮論者認為，世界上沒有真正無窮的東西，所謂的無窮不過是描述一步接一步的動作，這個動作永遠在進行中，永遠沒有終止。
但實無窮論者認為，無窮是存在的，存在著“一下子就完成”的無窮，而非像前者那樣的永遠無法完成。
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1 B/ D7 O) O7 h- v能體現這兩個無窮爭論的例子是：你從點0到點1，無論如何你要經過它們的中點，就是0.5；而你要到達0.5，也必須先到達它們的中點即0.25……如此進行下去，由于這些中點是無窮的，所以你永遠無法從0點到達1點。
實際這就是區間(0,1)的稠密性，也就是敝貼曾經提到過的，這個區間是連續統的精髓。
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5 u& l9 S$ F0 i4 j4 b' o0 [+ V' N你永遠無法從點0到達點1，是潛無窮論者的論點，但是我們明明可以一步就從0到1，所以實無窮是存在的，證畢。
5 I/ v# x$ c3 e) k* k7 @集合論是承認“實無窮”的存在的。

0 ~; t/ O% I3 T8 l* a7 b根據我的研究發現，“實無窮”的論點直接就導致“不可知論”。

metalstorm

問題一：青蛙是跳不出井的，只能無限接近一個極限高度，這個極限高度等于第一跳的距離乘以如下等比數列的求和極限。
& t" @) Y2 W% Q. {/ {' s
問題二：阿基琉斯只能無限接近烏龜，但永遠追不上，阿基琉斯的速度一直在變慢。請教樓主這個數學模型是什么？
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: q0 o5 s/ H; Y; u! r

無能

回復 metalstorm 的帖子

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第二題，我讀題發現龜兔是各跑各的，并且并未說明B3一定在B4后面。不知道原題是不是想說兔子每次都要跑到二者距離的中點。

無能

3 Y8 O  T: p! Y$ r$ m4 F
2 @% V2 K9 B/ A回復 螺旋線 的帖子

/ Q7 e- M6 o$ c! H- Z- \7 @1 a* i" K( U  I看來以己昏昏，還是不能使人昭昭啊，哈哈哈…
只能說 1 是無窮序列 0.9' 的極限，即 n->∞ 時 lim (1-1/10^n) = 1。
9 B) I( O# h' w. }0.9' 無限趨近于 1，但它不等于 1。
歡迎繼續提出異議。
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