關(guān)于極限和連續(xù)的兩個(gè)數(shù)學(xué)問題

螺旋線

還是不要討論這種問題吧。
數(shù)學(xué)這東西，學(xué)不來，知道結(jié)果和懂是兩回事。
* \' E% d4 L4 p- T, A3 c作為工程師，需要的就是知道。

未完不續(xù)

第一個(gè)問題：要想蛙跳不出去，前提條件是井要足夠深，大于等于蛙單次跳躍高度的2倍。
9 i. C9 k  D  r第二個(gè)問題：以A點(diǎn)為原點(diǎn)

7 [' K6 P# m. l1 T- ~# nT1=    B1/Va
2 e2 k8 H) q1 ]8 i- T' M' A/ j8 c) ^( s
( A+ `& N2 v5 l$ s. o# V

) c4 v# I% q2 v: LT2=    (B2-B1)/Va   =   Vg*T1/Va    =   Vg*B1/Va^2



T3=    (B3-B2)/Va   =    Vg*T2/Va  =   Vg^2*B1/Va^3
) k/ s  M5 N; r2 c  F8 H% R0 _
……….

Tn=(Bn-Bn-1)/ Va  =     Vg^(n-1)*B1/Va^n     =     B1 * ( Vg/Va)^n/ Vg
1 k# o: Y/ z" Z# |
* }0 n3 p8 _- U0 K0 P# c% [( a2 w       當(dāng)Vg/Va<1時(shí)，( Vg/Va)^n→0, Tn→0,說明阿喀琉斯能追上烏龜。
5 G7 |$ H# Y1 q& r# G
$ }- F* U: v) {' L5 Y# ?; \

風(fēng)追云

這兩個(gè)問題是名副其實(shí)的“長驅(qū)鬼魅”問題。哈哈。

掃街

1除以0等于神馬

andyany

數(shù)學(xué)如果不和物理結(jié)合，就是奇技淫巧。

fmdd

第一個(gè)：無限等比數(shù)列求和Sn=a1/(1-q)
% B; O, o- x+ }- d( E% B8 ]& X; qa1=1/2  q=1/2 Sn=1
  F" C: _- e; l* A% T) I說明青蛙是能跳出井的，只是在它有生之年沒法完成，拋棄理論不說，從事實(shí)上來考慮，青蛙的前腳已經(jīng)出了井口，后腿雖然還在井里，它可以爬出去，不用再花無窮多的時(shí)間繼續(xù)跳了
/ J1 j) i% x2 n8 p% P( F
第二個(gè)：這個(gè)是哲學(xué)上的詭辯，運(yùn)動(dòng)具有瞬時(shí)性，也具有連續(xù)性，哲學(xué)老師說，任何運(yùn)動(dòng)方面的詭辯，都是割裂了運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)特征。在這個(gè)題目里，運(yùn)動(dòng)只表現(xiàn)出瞬時(shí)性，所有的分析點(diǎn)都是一個(gè)片段。這個(gè)問題需要有比物理學(xué)和數(shù)學(xué)更高層次的哲學(xué)理論來解釋，那些研究宇宙的本源、人生的意義的極端聰明的家伙，才能給你揭示出這個(gè)問題背后的本質(zhì)。

鬼魅道長

8 |* V9 k1 n, a* n
0 K; }! w5 v+ i% s* q6 |這兩個(gè)問題，必須計(jì)算“重心”，即沒有實(shí)體的點(diǎn)，不然，就會(huì)出現(xiàn)樓上說的，前腿出井，后腿留在井里的事情。
3 C; ?1 q6 n* ^4 T
可以先分別提出假設(shè)以建立數(shù)學(xué)模型：

1.青蛙第一次能跳到井的一半，而且1/2^n次跳的時(shí)候，所耗費(fèi)時(shí)間也是1/2^n秒，那么當(dāng)它跳到第n次的時(shí)候，與井口的距離差為1/2^n。
. d4 _; H( z4 X" I2.阿基琉斯時(shí)速為1m/s，烏龜為0.5m/s，兩者相隔1m，所以第一次經(jīng)過1s，距離差為1/2，第二次經(jīng)過1/2s，距離差為1/4，不斷往復(fù)，則第n次，距離差為1/2^n。
6 ]7 ~. t0 j: L' {
8 g4 s6 }, r4 ]8 Q# ?那么可以得出，兩個(gè)的距離數(shù)列是基本一樣的：即1、1/2、1/4、……、1/2^n。

但是得到的結(jié)論卻是兩個(gè)答案。

kongping

7 p6 H5 W6 c1 G/ W/ d) E2 J4 L" L第一個(gè)問題：先決條件是要看井口的高度和青蛙第一次跳躍的高度，青蛙有可能跳出或有可能跳不出。不能一概而論。
; z4 Y) C0 }' q# A' g第二個(gè)問題：先決條件是誰的速度快，如果阿基琉斯的速度大于烏龜?shù)乃俣龋�那阿基琉斯一定�?huì)追上烏龜，只是時(shí)間問題。如果速度小于或等于的話就不用說了。

luyupei

第一個(gè)問題是距離的極限，所以跳不上去。第二個(gè)問題是時(shí)刻的極限，過了那個(gè)時(shí)刻就超過了。

鬼魅道長

長驅(qū)鬼魅 發(fā)表于 2011-4-21 09:52
! N/ s# G5 J1 o  I6 b+ Y這兩個(gè)問題，必須計(jì)算“重心”，即沒有實(shí)體的點(diǎn)，不然，就會(huì)出現(xiàn)樓上說的，前腿出井，后腿留在井里的事情。 ...

- z. U# A* {4 ^  z# B剛才打了一大段字，想不到網(wǎng)絡(luò)出問題，一下變成未登錄狀態(tài)，辛苦白費(fèi)了……555

% f$ t+ O. ~* Y4 z- o其實(shí)距離數(shù)列已經(jīng)說明白了，是完全一樣的，之所以答案不同，是因?yàn)榭s短距離而花費(fèi)的時(shí)間的關(guān)系。

6 o( v+ Y9 e( Z9 W$ |1.青蛙第一次跳，花費(fèi)時(shí)間1/2s，由于中途會(huì)停歇1s，所以第二次花費(fèi)1+1/4s，第n次則為1+1/2^n s，那么花費(fèi)的時(shí)間數(shù)列為：
/ N3 W: C8 `6 w8 b6 w2 m7 ], V5 c
1/2、1+1/4、……、1+1/2^n，n無窮大，則消耗時(shí)間的總數(shù)也是無窮大，青蛙永遠(yuǎn)也跳不出去。

$ ~9 N- L7 ?! |5 [" y; }2.第一次縮短距離，花費(fèi)時(shí)間1/2s，第二次花費(fèi)時(shí)間1/4s，第n次花費(fèi)時(shí)間1/2^n s，那么花費(fèi)的時(shí)間數(shù)列為：

' I& k# `; e0 U" `7 s1/2、1/4、……、1/2^n，n無窮大，則消耗時(shí)間的總數(shù)是1s，根據(jù)前述假設(shè)，在速度為1s/m，相差距離為1m的情況下，在1s的花費(fèi)時(shí)間終結(jié)之時(shí)，阿基琉斯與烏龜就站在同一位置了，而下一個(gè)t時(shí)間，無論有多么小，由于速度上的優(yōu)勢，他必然會(huì)超過烏龜。

( g1 X) v! b7 s' u對(duì)比一下，就發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)列的差距就在“每次停歇1s”這個(gè)地方，換句話說，如果阿基琉斯每次都要休息，那么他也永遠(yuǎn)追不上烏龜。
$ Q, q5 \0 m: f

之所以想起來把這個(gè)問題發(fā)上來，就是想說一下昨天討論的結(jié)果，那就是，追趕別人是不能停的，如果天朝每次追趕米國都要停歇，那么，即使發(fā)展速度比人家快一倍，也將永遠(yuǎn)追不上。