解一個閥門的數學模型

明月山河

設計一種閥門，遇到一數學模型，有點疑惑，請各位俠士支招。

8 O0 J* U6 a/ ^* Y5 h6 l如圖的是一個扇形區域，里面分成六個格子，也就是流體的通道；格子的面積是S1～S6；相應的外半徑分別是r1~r6；格子的徑向壁厚為δ，兩側射線的壁厚為δ/2，（實際這是圓周分布的，取側壁的一半劃出扇形就成了這樣子）。可列出S和r的方程：

6 |( Y8 n$ x( Q* Y0 y& T其中δ的取值范圍為0.5～2.5已知；扇形的張角α為20～50度，已知； 格子面積S1～S6是有外部參數驅動的，數值未知，但是這里把它當成已知的；r7=5～7為已知；
* q* q- T- y: f" \r1～r6是未知數，求解它們的表達式；
當然確切的解析式是很難的，這里的表達式可以是某種近似解法，例如函數逼近公式，等等；
目的有二：（1）看它們隨著Si，α，δ的變化規律；（2）同外部參數聯立求解一個更大的方程；
想用對 δ 冪級數展開的方法，但是收斂速度未知，如果每個r都展開到5次項，將要求解30個方程；這個應用起來可能比較麻煩；
那位高手給點妙招；數值方法暫時不考慮；
# ]' B0 w4 X0 B7 P" {0 x% D% h! I

; R+ q( `+ ^/ }( D. Q* D* Z
9 Q5 T  |& T. ?3 L6 D1 B  ?" @
補充內容 (2015-5-24 21:26):
Si中是含有外部參數驅動的函數，其中包含有r1，但是具體還沒有確定，所以要求ri關于Si的比較簡單的表達式，但是用根式表示的難以應用，不是簡單倒推迭代就行的；

陽光小院暖茶

圖呢？

明月山河

& ?2 ]7 p8 X, E# w+ w
, Q3 X1 v9 g* G* g3 O: x

陽光小院暖茶

看不懂，我默默閃人了

中國龍1222

真心看不懂，，走人

shouce

6個方程    解6個未知數     理論上完全可行的
1 `3 h0 o" p# l

shouce

可以用   解非線性方程組的Newon法

shouce

其實就是解一個  一元二次方程     我用matlab   算了下
>> syms  s r6 r7 a b
0 h* @3 m% s2 y>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')
: S( U5 t- x+ ~4 Q, e: n$ B% h/ l
f =
; Y7 Q) V  P9 z0 P' c1 S
! B: ]% {/ e0 o9 ?' O4 r' e" B9 y7 M(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
( E3 v; b  U& M5 R4 f  E >> finverse(f,r6)

ans =
% j$ E& P( ~0 X% w
; q; z" a7 i# J, K. s5 ?3 n& F(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a
; r* @* o8 j7 A3 {$ B
/ h7 C8 x* m; t6 B  j6 p>> pretty(finverse(f,r6))
                                 2    2  2    2   2
b + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
4 P! d, t# L5 X                               a

shouce

shouce 發表于 2015-5-24 21:04
( G2 z% R2 G! _1 j9 ?其實就是解一個  一元二次方程     我用matlab   算了下
1 n" I6 Q( Z9 a' Z' L>> syms  s r6 r7 a b
" G6 P" _3 q& `. y) W>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

9 Q5 Y# {: |: k/ \$ a- n>> syms a b c x
7 n! L) o/ _# U2 n4 e2 ?>> f=sym('a*x^2+b*x+c')

' N) m" C4 l3 a! Nf =

a*x^2 + b*x + c

>> finverse(f,x)

ans =

6 m# i' q6 H! L# V-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)

我用matlab 推導 一元二次方程求根公式      
            
2 F- b9 M2 u3 Y: c! C               2
  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
- ----------------------------
  N0 T& B' |& Y0 Q) s6 |8 j# E               2 a

: v. U* n5 |3 l3 Q* G' s, [
) t' E% L! \1 O9 j) l2 U8 D( _這個也含有X  估計  可以刪除


1 v8 o( E! ^" t1 w% o- i) _