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開玩笑嗎？ 一幢高度接近190米，39層、大約重三萬多噸的摩天大樓，需要多少個人能晃動，晃到使得樓內的其他人懷疑人生，倉皇出逃？$ t7 j1 Z% K# l3 S1 V/ c
( f) K; A9 a' m4 M0 c答案是需要23個油膩的中年人…… 1 w& \% p, \8 u l0 Q: s* E
這個看似十分荒謬的問題源自一個真實的事件，2011年7月5日就發生在下圖這個大樓里。
' n" X; o! e% E5 |) ]那一天，23個中年人（也有報道說17個人）在大樓的第12層的健身房做“Taebo”運動（一種類似于跆拳道和拳擊的有氧運動），大約是Happy成這個樣子： # e. k& _5 J1 U/ j
此舉導致整棟大樓豎向振動了10分鐘，大廈中數以百計的人群緊急疏散，“狂奔逃命”。 " @# j' x. K4 a3 }, @
可能嗎？ 那么重的一個大樓，23個大叔，可能嗎？
$ I3 g. l% d0 o1 \0 s& }- ~$ o$ L" l B答案是可能的，罪魁禍首就是共振。
5 n2 Z1 Z4 B& g( ~由于人的運動通常是一種周期性的行為，當其頻率與結構的振動頻率非常接近時，共振效應可以使結構的動力反應變得十分顯著。
( T1 O: I) g: ^3 t; w+ b動力問題和靜力問題有本質的區別，舉個例子，普通家用汽車2噸左右，一個小朋友盡全力也極難推動，可如果他/她握住車門把手按照正確的頻率來回搖晃（或者坐在車子內身體左右搖晃），很容易讓車子振動起來，厲害時可以把車子晃倒 ---- 不信的話，在您家車上試試？？
8 K5 s5 G. x) w- Q3 [7 L閑話少說，上公式！（此處略去一堆假定：單模態控制，諧波荷載，激勵點振型值差異….） 其中N是完全同步人數（本例活動人數23，考慮大叔們同步性差，取N=8）；G為平均體重（取80公斤，大叔嘛），M*為模態質量（據說是8529噸[1]），阻尼比（0.1%），是荷載的峰值因子（對跳躍運動取3.0[2]），把所有數值帶入公式得到最大的加速度為 給個參考對比值，我國《高層建筑混凝土結構技術規程》（P20）規定商場和室內連廊的豎向峰值加速度的限值為0.22m/sec2，估算的值比這個限值大5倍，身臨其境，您會跑嗎？ 3 o: } o2 N+ w9 p- V9 B
BTW，專家們在該樓上模擬測試的加速度峰值為0.6 m/sec2。 9 X/ U1 j; l0 I7 Z* P
9 \& V' p% b: \3 W! i" t: l# c. \假如… 假如想晃動下面這個樓，需要多少人？ 圖5 某辦公樓
i, Y2 ^; }1 O4 O% T樓高8層，高度31.9米，模態質量大約4000噸。如果取2%的阻尼比，beta值取0.3（人體橫向擺動），取規范對應于辦公樓的加速度限值0.07m/sec2，則可計算出N=14。14個動作整齊的80公斤的胖子可以晃動此大樓！我們真的去做了！安全起見，只派了兩個胖子。
1 t2 \( `/ ^) h) h圖7那漂亮的、教科書般的建立共振響應的曲線說明，兩個胖子可以讓結構振動到0.3 cm/s2的水平。
' R/ s, y. ^7 D c3 s. J小 結 阿基米德說“給我一個支點，我可以撬起地球”，事實證明“給我幾個大叔，我就能晃動大樓”，關鍵是正確的人（數）以正確的方式（頻率）做正確的事（激振方向）。 " L4 z, o. \( ]" `+ x) N
感謝博士生李果、韓紫平同學為本文收集的材料。 " g3 x w" c$ f6 _
參考文獻：
! D W! c9 N! e5 X" |[1] Sang-Hyun Lee, Kyung-Koo Lee, Sung-SikWoo and Seung-Ho Cho, Global vertical mode vibrations due to human group rhythmicmovement in a 39 story building structure, Engineering Structures, 57 (2013)296-305
% L% i$ [& X5 ]/ i. l+ V[2] 陳雋著，人致荷載與人致結構振動，科學出版社，2016
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發表于 2018-3-31 09:08:42
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