我研究數(shù)學(xué)一點(diǎn)心得：一種從代數(shù)式到微分式的快速變換法

逍遙處士

我研究數(shù)學(xué)分析（微積分）以來，有那么一點(diǎn)心得，一直想寫出來，幫助初學(xué)者，以跨過那些難懂的書籍，以掌握微積分，以產(chǎn)生生產(chǎn)力。

讓我們把概念拋棄，先把玩法弄會(huì)，把玩法弄熟，最后再學(xué)習(xí)基本理論。
本方法能從代數(shù)式一步過渡到微分式，只需要簡單的替換、四則運(yùn)算、省略等操作。

先從最簡單的一元一次方程式開始。
y = 2x                      （1）
1 E$ o0 `) z/ E我們將 y 替換成 y+dy ， 將 x 替換成 x+dx，于是上式變換成：
( R, W1 i3 ^) M(y+dy) = 2(x+dx)      （2）
（2）-（1）得：
$ Y0 O8 T6 V0 V- m4 Udy = 2dx                  （3）
上面這個(gè)（3）式就是（1）式的微分式。快吧？將dx從右邊挪到左邊就變成：
dy/dx =  2 = y'           （4）
上面的（4）式就是（1）式的導(dǎo)數(shù)式，導(dǎo)數(shù)就是這么求來的。
1 s, u% O. r- g( q
下面再來看一元二次方程：
( r/ _8 v2 p4 k$ y( u6 b: q9 Ty=x^2                      （5）
6 _% J5 F7 t6 s- y( D* v$ [3 K' G做替換，y→y+dy，x→x+dx，得：
(y+dy) = (x+dx)^2     
# b- _4 R6 c3 F) g' k: L展開得：
8 O# t$ [! j4 ~. ?- i(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  （6）
（6）-（5）得：
dy = 2x*dx + dx^2     （7）
  x# Z& J1 P2 n: r; {這里介紹一個(gè)關(guān)鍵，微積分的精髓——dx屬于一階“無窮小”，而dx^2屬于二階“無窮小”，二者相加，高階者略去，所以：
. N+ w% e! i, {' ~$ D$ r3 Tdy = 2x*dx                （8）
dy/dx = 2x = y'          （9）
3 o; P- ]7 `# P7 B- F4 p. P上面的第（9）式就是（5）式的導(dǎo)數(shù)式。
+ e% x1 t8 d6 p0 _; {' F
( ]. b, C% F, l" r7 A/ p* D下面看二元一次方程：
z = xy                      （10）
) }1 u! H8 ]/ J做替換z→z+dz，y→y+dy，x→x+dx得：
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
9 S: P. q* k! L% W' L展開得：
z+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
（12）-（10）得：
dz = xdy + ydx + dxdy（13）
' k7 d) e0 i( ~4 ]" R7 k/ O看上式，又出現(xiàn)了高階“無窮小”，可以略去，所以：
+ v$ d7 G& `2 m# W2 A' S3 {7 Pdz = xdy + ydx          （14）
上式即為（10）式的微分式。
/ n7 V0 e2 O; i( c0 s! z
最后再舉一個(gè)例子，關(guān)于流體的連續(xù)性有一個(gè)式子：
ρvA = C（常數(shù)）
書上說先兩邊取對(duì)數(shù)，然后再兩邊微分，得：
dρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
用我的方法，不用無中生有去微分，一樣得出這個(gè)式子，先做替換得：
/ Q( I* g0 S" M6 T. z" b" W(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
展開得：
ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
減去第一個(gè)式子，再略去二階及三階無窮小，得：
# a" Y- X$ x6 P# N: N* bρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
+ _' G% c& \; i% M, W+ A兩邊同除以ρvA，就跟上面一樣了。

總結(jié)一下，第一步替換，第二步相減，第三步“略去高階無窮小”，成功！
. L0 K& s+ ]0 a+ ]2 u任何方程式都可以這么干，不涉及極限和無窮等概念，輕松學(xué)會(huì)微分變換。
* R' Y5 h- K, M* G

風(fēng)隨意

初中畢業(yè)表示很難看懂~

逍遙處士

題目又被改了……聲明一下，冒號(hào)前面的字是管理員加的。
7 I7 l2 b/ N  _* ^0 D鄙人可不敢說研究數(shù)學(xué)，會(huì)讓教授們笑話的。
+ R# l$ D, O) {8 H  n& k3 H5 I再次聲明，冒號(hào)前面的字是管理員加的。

水水5

最近感覺到處都要用到數(shù)學(xué)呢
2 A3 y" N  c1 n; C3 q2 F0 T& o往高一點(diǎn)研究都是要用數(shù)學(xué)的   也在看微積分 復(fù)習(xí)一下

mfka

很有意思！
謝謝把你研究結(jié)果與大家共享！
我提點(diǎn)我的看法，請(qǐng)不要介意！
% ^, @! x- k2 _0 Y- V你用的是數(shù)學(xué)研究的枚舉法，如果要普通適用就要證明的方法過程，你所謂的無窮小項(xiàng)不一定是真正的無窮小。

zhulongxin1986

不去教數(shù)學(xué)真是浪費(fèi)啊。

逍遙處士

mfka 發(fā)表于 2013-5-22 22:59
很有意思！
  O  w" t. d2 |% F$ J7 C謝謝把你研究結(jié)果與大家共享！
: @5 q2 l( @) P, p& D( u5 k* F  `我提點(diǎn)我的看法，請(qǐng)不要介意！

鄙人這是綜合了標(biāo)準(zhǔn)分析、非標(biāo)準(zhǔn)分析以及我國陰陽學(xué)說才研究出的結(jié)果。
  \7 `. o7 ?  q完全符合洋人的標(biāo)準(zhǔn)，所以不存在你說的那些問題。
/ n2 e* M9 m& z; T& z% M
2 y3 b% u/ Q$ C, P9 h" l補(bǔ)充內(nèi)容 (2013-5-25 22:28):
( P$ d: \: J; G# Q: @; S, f- c$ `3 j這個(gè)真不是吹牛，其實(shí)我原本的想法，并不是這樣。我原本的想法寫出來，如果用陰陽學(xué)說來看，是很容易理解的，但現(xiàn)代人怎能接受？我只能寫成這樣，但這樣更難理解。但是——無論你怎么說，這種方法的結(jié)果卻是對(duì)的。

) _& T' _* d7 A8 f! k補(bǔ)充內(nèi)容 (2013-5-25 22:30):
+ d+ T  {9 c. m7 W: q2 j6 Y! V我們不妨想一想，這種簡單直接的方法，無論在什么情況下，它的結(jié)果都是對(duì)的，但它的解釋學(xué)起來卻無比艱難——大家想一想，問題出在哪里？就是出在對(duì)這種方法的解釋上面！

0 M/ w- D- p: Z9 N- E: j補(bǔ)充內(nèi)容 (2013-5-25 22:33):
所以不管什么無窮小、極限、趨近于0等等等等，這些概念都不過是為了說服我們自己而已。如果有一種方法，能讓我們很容易就相信這種做法的正確性，那么，這種學(xué)問學(xué)起來是不是就會(huì)容易很多？
1 K3 A& Y0 ?  s+ x7 X
補(bǔ)充內(nèi)容 (2013-5-25 22:34):
/ @5 T  u! p% q5 Y6 N所以不管什么無窮小、極限、趨近于0等等等等，這些概念都不過是為了說服我們自己而已。如果有一種方法，能讓我們很容易就相信這種做法的正確性，那么，這種學(xué)問學(xué)起來是不是就會(huì)容易很多？

請(qǐng)叫我小凱

滿新穎的

大本Ben

嘻嘻。以后遇到這些就簡單多了。

wwfs

這其實(shí)就是導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)過程，用極限的方法，數(shù)學(xué)分析教材至少我學(xué)的版本就是這么處理的，這么看來不清楚極限的可以用樓主的方法，知道的可能就覺得在繞圈子了，小小評(píng)論樓主莫在意啊