我研究數學一點心得：一種從代數式到微分式的快速變換法

逍遙處士

我研究數學分析（微積分）以來，有那么一點心得，一直想寫出來，幫助初學者，以跨過那些難懂的書籍，以掌握微積分，以產生生產力。
* }% D/ t: b  X$ c
* ^& @$ t8 ?' a, @. f# ^讓我們把概念拋棄，先把玩法弄會，把玩法弄熟，最后再學習基本理論。
* Y' g7 q; ~' ?; U本方法能從代數式一步過渡到微分式，只需要簡單的替換、四則運算、省略等操作。

先從最簡單的一元一次方程式開始。
y = 2x                      （1）
我們將 y 替換成 y+dy ， 將 x 替換成 x+dx，于是上式變換成：
(y+dy) = 2(x+dx)      （2）
（2）-（1）得：
dy = 2dx                  （3）
上面這個（3）式就是（1）式的微分式。快吧？將dx從右邊挪到左邊就變成：
dy/dx =  2 = y'           （4）
* I7 S8 e5 j% V$ S+ d# z上面的（4）式就是（1）式的導數式，導數就是這么求來的。

下面再來看一元二次方程：
y=x^2                      （5）
6 A: c9 y% V* e! }做替換，y→y+dy，x→x+dx，得：
+ m1 B, D: j! S4 o: [(y+dy) = (x+dx)^2     
3 `  p9 a+ |7 l! Y- b. h2 }5 O, Q7 s  S展開得：
; [' C" ?& u, c; w. m(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  （6）
（6）-（5）得：
5 N' N) _( i/ p" `5 f4 P: ydy = 2x*dx + dx^2     （7）
這里介紹一個關鍵，微積分的精髓——dx屬于一階“無窮小”，而dx^2屬于二階“無窮小”，二者相加，高階者略去，所以：
9 d+ d- U: Q- N  w. A* ^dy = 2x*dx                （8）
3 s! ^$ P; i4 `# A6 Mdy/dx = 2x = y'          （9）
上面的第（9）式就是（5）式的導數式。

下面看二元一次方程：
z = xy                      （10）
# E: o1 D" M& B0 C# D  G+ U8 z做替換z→z+dz，y→y+dy，x→x+dx得：
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
展開得：
z+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
（12）-（10）得：
! S# ^, r( h  c, k3 m5 edz = xdy + ydx + dxdy（13）
看上式，又出現了高階“無窮小”，可以略去，所以：
dz = xdy + ydx          （14）
2 W! g: \( R$ q  Z; r* I* t2 o0 p上式即為（10）式的微分式。

. V8 _. W3 B4 L8 q最后再舉一個例子，關于流體的連續性有一個式子：
  J6 p/ e; r- r' ZρvA = C（常數）
' z8 ~/ ]# B8 x$ U# Q3 q$ ]8 t書上說先兩邊取對數，然后再兩邊微分，得：
dρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
用我的方法，不用無中生有去微分，一樣得出這個式子，先做替換得：
: p- t7 [( I. _2 ?5 w(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
7 p" u  ]1 q+ l8 B6 p% a& {* i展開得：
ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
減去第一個式子，再略去二階及三階無窮小，得：
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
兩邊同除以ρvA，就跟上面一樣了。
- f+ c) I8 z8 ^" f& U
. _9 h, T: G# a% \0 a總結一下，第一步替換，第二步相減，第三步“略去高階無窮小”，成功！
任何方程式都可以這么干，不涉及極限和無窮等概念，輕松學會微分變換。
5 b  N; B+ }3 L" z7 e( }

風隨意

初中畢業表示很難看懂~

逍遙處士

題目又被改了……聲明一下，冒號前面的字是管理員加的。
鄙人可不敢說研究數學，會讓教授們笑話的。
再次聲明，冒號前面的字是管理員加的。

水水5

最近感覺到處都要用到數學呢
往高一點研究都是要用數學的   也在看微積分 復習一下

mfka

很有意思！
4 p, h: p  D: D2 B$ [謝謝把你研究結果與大家共享！
$ _# a! S  f3 {6 J; h2 p. r0 v8 w% m我提點我的看法，請不要介意！
/ c6 T$ {$ H: W# c. F你用的是數學研究的枚舉法，如果要普通適用就要證明的方法過程，你所謂的無窮小項不一定是真正的無窮小。

zhulongxin1986

不去教數學真是浪費啊。

逍遙處士

mfka 發表于 2013-5-22 22:59
很有意思！
謝謝把你研究結果與大家共享！
我提點我的看法，請不要介意！
5 i9 e% \4 @" q0 G

鄙人這是綜合了標準分析、非標準分析以及我國陰陽學說才研究出的結果。
完全符合洋人的標準，所以不存在你說的那些問題。

補充內容 (2013-5-25 22:28):
這個真不是吹牛，其實我原本的想法，并不是這樣。我原本的想法寫出來，如果用陰陽學說來看，是很容易理解的，但現代人怎能接受？我只能寫成這樣，但這樣更難理解。但是——無論你怎么說，這種方法的結果卻是對的。
2 R1 C0 I+ A' W! _& A' n9 [
補充內容 (2013-5-25 22:30):
我們不妨想一想，這種簡單直接的方法，無論在什么情況下，它的結果都是對的，但它的解釋學起來卻無比艱難——大家想一想，問題出在哪里？就是出在對這種方法的解釋上面！

/ ^+ y" T, S% l( y5 @9 _* L補充內容 (2013-5-25 22:33):
所以不管什么無窮小、極限、趨近于0等等等等，這些概念都不過是為了說服我們自己而已。如果有一種方法，能讓我們很容易就相信這種做法的正確性，那么，這種學問學起來是不是就會容易很多？

補充內容 (2013-5-25 22:34):
所以不管什么無窮小、極限、趨近于0等等等等，這些概念都不過是為了說服我們自己而已。如果有一種方法，能讓我們很容易就相信這種做法的正確性，那么，這種學問學起來是不是就會容易很多？

請叫我小凱

滿新穎的

大本Ben

嘻嘻。以后遇到這些就簡單多了。

wwfs

這其實就是導數公式的推導過程，用極限的方法，數學分析教材至少我學的版本就是這么處理的，這么看來不清楚極限的可以用樓主的方法，知道的可能就覺得在繞圈子了，小小評論樓主莫在意啊